Многих людей, хоть как-то изучавших курс высшей математики в учебном заведении, приводит в ужас словосочетание «дифференциальные уравнения». 

Согласно строгому научному определению в книгах – так именуются математические выражения, где в состав входят функция, ее производная или параметр. 

Имеется достаточно большое количество типов этих равенств, рассмотрим подходы к их решению так, чтобы они были понятны даже для «чайников».

Дифференциальные уравнения первого порядка

Обыкновенное диффуравнение (ДУ) 1-го порядка задается относительно некой функции, имеющей вид у(х):

F(x,y(x),y´(x)) = 0,

здесь, F(x,y,y) – это функция, задающаяся для трех аргументов (в этом примере для х, у и у).Таково строгое математическое определение ДУ.

Диф уравнение

Для примера можно привести следующее уравнение:

xy'(x) - y(x)2 = 0

функция вида F(x,y,p) = xp - y2


Простейшие ДУ первого порядка

Общепринятый механизм нахождения решения таких выражений (чаще всего похожи на y' = f(x)) – это интегрирование левой и правой части такого уравнения на заданном промежутке Х. 

После интегрирования получим такое выражение:

∫ y'dx = ∫ f(x)dx

Воспользовавшись свойствами, которые относятся к интегральным выражениям, упростим выражение до вида:

y = F(x) + N

здесь, F(x) – это первообразная от функции f(x) на заданном интервале Х, а N – случайным образом выбранная константа.

Задача №1

Необходимо определить все возможные варианты решения диффуравнения, имеющего вид 

10

Последовательно рассмотрим решение.

Представленное диффуравнение может иметь смысл только при действительных значениях параметра х. Примем условие, что x ≠ 0, тогда выражение легко преобразовывается в следующее:

11

Если же, напротив, принять, что х = 0, то выражение приобретет следующий вид, характерный для любых функций y’, удовлетворяющих данному условию:

12

Можно заключить, что решением при справедливости условия х = 0 будет любая функция у, найденная, когда аргумент равен нулю. Остается только проинтегрировать полученное диффуравнение:

14

Данное выражение – это решение для приведенного диффуравнения.


ДУ с разделяющимися переменными

Среди дифуров 1-го порядка можно выделить такие, где все переменные х и у можно преобразовать так, что они окажутся по разные стороны от знака равенства. 

Соответственно уравнения, где путем преобразований это возможно сделать, называются диффуравнениями с разделяющимися переменными. 

100

Их общий вид следующий:

15

После проведения нескольких преобразований, это выражение может быть сведено к следующему виду:

16

При составлении преобразований необходимо внимательно разделять переменные, не допуская, чтобы функции обращались в ноль, иначе возможна потеря некоторых значений.


Задача №2

Рассмотрим обыкновенный пример. Необходимо определить все возможные решения диффуравнения y' = y(x2 + ex)

Как решать? В первую очередь проводим разделение переменных в разные части уравнения:

17

Данные преобразования справедливы, если у ≠ 0.

Если рассмотреть вариант решения при нулевом показателе функции, то можно заметить ,что

18

Это означает, что y = 0 – одно из возможных решений задачи.

Рассмотрим другие варианты решений, для чего произведем интегрирование диффуравнения:

19

20

21

22

Финальная часть преобразований будет вторым решением диффуравнения. Останется только потенциировать это выражение, чтобы привести его к более явному виду:

23

Правильными решениями, в результате преобразований, будут:

24
 

Кроме того, можно воспользоваться онлайн системой для нахождения ответа. Подробные объяснения даны в решебниках Филиппова и Понтрягина.

Линейные неоднородные ДУ первого порядка

Линейные неоднородные уравнения – это такие выражения, которые можно записать в формате y' + b(x)y = f(x), при этом функции b(x) и f(x) – непрерывные.

Основной принцип при нахождении решения сводится к следующим шагам:

  1. Первым делом для уравнения необходимо произвести поиск решения, которое бы соответствовало линейному однородному диффуравнению.

  2. Затем необходимо варьировать произвольной постоянной, производя ее замену на функцию.

  3. На финальном этапе функция подставляется в первоначальное уравнение, откуда, решая ДУ, получается ответ.


Задача №3

Рассмотрим применение методики решения на примере. 

Необходимо найти решение дифференциального уравнения вида 

25

Решение заключается в следующем. Первоначально примем, что y = m∗n, следовательно, получается:

26

27

28

На следующем этапе нужно определить, что такое m (оно обязательно не должно быть равным нулю), при котором все выражение внутри скобок будет равно нулю. 

Получаем дополнительное дифференциальное уравнение:

29

30

31

32

Теперь необходимо принять одно из частных решений n = x2 + 1, которое соответствует равенству С- С1=0.

Выполняем оставшиеся преобразования:

33

34

Вполне очевидно, что ответом на условие задачи будет функция:

35

Задача Коши для ДУ

При рассмотрении решения практически любого диффуравнения, имеющего вид F(m,n,n') = 0, становится очевидно, что это бесконечно большое количество решений (это следствие самого возникновения диффуравнения). 

Задачи Коши

На данном этапе математики сталкиваются с вопросом о выборе конкретного решения и способе его выделения из множества.Иными словами, если представить решения в виде бесконечного множества интегральных кривых, то необходимо найти среди них нужную. 

Чтобы это сделать, необходимо рассмотреть плоскость Xoy, где должна быть задана некая точка D0, имеющая координаты (x0, y0) – именно через них и должна пройти интегральная кривая, чтобы стать искомым ответом.

Когда мы с самого начала задаем точку D0(x0, y0) – это означает, задание начального условия y(x0) = y0. Диффуравнение, для которого определено начальное условие в представленном формате, называется уравнением с заданной задачей Коши.


Задача №4

Рассмотрим примеры с объяснениями. Необходимо определить решения задачи Коши вида:

36

Ход решения строится в три этапа. На первом этапе решаем диффуравнение y' = xy2 стандартным методом. Его решение приводить не будем, приведем только ответ:

37

Производим подстановку начального значения (х = 0, у = 1) в решение и находим значение С:

38

Производим подстановку полученного значения в ответ диффуравнения и получаем одно из частных решений:

39

Полученная функция – ответ на задачу Коши в этом примере.

Дифференциальные уравнения Бернулли

Уравнение Бернулли

ДУ Бернулли обычно представлено в следующем виде:

y' + b(x)y = c(x)yn

Обязательное условие, что функции b(x) и c(x) – являются непрерывными.


Задача №5

Рассмотрим общее решение данного типа на примере. Необходимо выполнить поиск всех возможных решений уравнения:

40

Во время оценки уравнения в нем можно идентифицировать ДУ Бернулли с параметром ½. Оно легко сводится к линейному ДУ, для этого достаточно заменить выражения:

41

Находим производную:

42

Выполним деление по начальному уравнению Бернулли на 

43

и выполним необходимые преобразования:

44

Произведем замену параметра х на параметр у:

45

Теперь вычисляем интегрирующий модуль для данной функции, он будет равен:

46

Теперь производим ряд преобразований для вычисления решения диффуравнения:

47

Переписываем полученную функцию в неявном виде и получаем ответ:

48

Дифференциальные уравнения второго порядка

Отличить ДУ 2-го порядка от таковых 1-го порядка достаточно просто – в их составе присутствует вторая производная (y’’) и не содержится производных более высокого уровня. 

Общий вид таких уравнений таков:

F(m,n,n',n") = 0  

Линейные однородные ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами

Определение линейных дифференциальных однородных уравнений 2-го порядка крайне просто – они имеют вид:

y" + ry' + k = 0

При это важным условием теории является причисление r и k к действительным числам.

Задача №6

Рассмотрим решение однородных диффуравнений 2-го порядка с постоянными коэффициентами на примере.

Найти решение диффуравнения 2-го порядка вида:

49

Во всех таких случаях начинаем с поиска характеристического уравнения:

50

Методы решения данного уравнения достаточно простые, можно воспользоваться калькулятором или быстро решить на листочке, поэтому их приводить не будем, запишем лишь корни – 1, 5. 

Поскольку это все действительные, неодинаковые числа, то можно записать функцию-решение в следующем виде:

51
 

Линейные неоднородные ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами

Общий вид неоднородных диффуравнений второго порядка легко определить по представленному образцу:

y" + ry' + ky = f(x)

Переменные r и k должны быть вещественными и постоянными числами.

Задача №7

Рассмотрим подробное решение. Необходимо определить все решения для уравнения y" + y = cos x.

На первом этапе находим в составе неоднородного уравнения его однородную часть – это будет y" - y = 0. 

Для него уже выполняем поиск характеристического уравнения – оно будет иметь вид k2 + 1 = 0.

Корнями для данного характеристического уравнения являются k1 = -i и k2 = i. 

Исходя из этого записываем решение для однородного уравнения:

52

Из-за отсутствия параметра с производной первого порядка также будет справедливо записать:

53

Теперь остается только подставить найденные выражения:

54

55

56

Частное и общее решение для уравнения можно записать:

57

58


Дифференциальные уравнения высших порядков

Уравнения высших порядков

Дифференциальные однородные уравнения высших порядков легко отличить, если они совпадают со следующим видом:

59

Для неоднородных справедлив другой формат:

60

Для выбора корректного пути решения ДУ, необходимо четко и правильно определить его тип. 

Для этого необходимо решить уравнение относительно его производной и проверить, возможно ли разложение функции на множители. После этого достаточно сравнить с одним из типов, приведенным в данной статье.