Дифференциальные уравнения ℹ️ определение, типы ДУ, теория, как решать

Дифференциальные уравнения первого порядка

Обыкновенное диффуравнение (ДУ) 1-го порядка задается относительно некой функции, имеющей вид у(х):

F(x,y(x),y´(x)) = 0,

здесь, F(x,y,y^’) – это функция, задающаяся для трех аргументов (в этом примере для х, у и у^’).Таково строгое математическое определение ДУ.

Для примера можно привести следующее уравнение:

xy'(x) - y(x)² = 0

функция вида F(x,y,p) = xp - y²

Простейшие ДУ первого порядка

Общепринятый механизм нахождения решения таких выражений (чаще всего похожи на y' = f(x)) – это интегрирование левой и правой части такого уравнения на заданном промежутке Х.

После интегрирования получим такое выражение:

∫ y'dx = ∫ f(x)dx

Воспользовавшись свойствами, которые относятся к интегральным выражениям, упростим выражение до вида:

y = F(x) + N

здесь, F(x) – это первообразная от функции f(x) на заданном интервале Х, а N – случайным образом выбранная константа.

Задача №1

Необходимо определить все возможные варианты решения диффуравнения, имеющего вид

Последовательно рассмотрим решение.

Представленное диффуравнение может иметь смысл только при действительных значениях параметра х. Примем условие, что x ≠ 0, тогда выражение легко преобразовывается в следующее:

Если же, напротив, принять, что х = 0, то выражение приобретет следующий вид, характерный для любых функций y’, удовлетворяющих данному условию:

Можно заключить, что решением при справедливости условия х = 0 будет любая функция у, найденная, когда аргумент равен нулю. Остается только проинтегрировать полученное диффуравнение:

Данное выражение – это решение для приведенного диффуравнения.

ДУ с разделяющимися переменными

Среди дифуров 1-го порядка можно выделить такие, где все переменные х и у можно преобразовать так, что они окажутся по разные стороны от знака равенства.

Соответственно уравнения, где путем преобразований это возможно сделать, называются диффуравнениями с разделяющимися переменными.

Их общий вид следующий:

После проведения нескольких преобразований, это выражение может быть сведено к следующему виду:

При составлении преобразований необходимо внимательно разделять переменные, не допуская, чтобы функции обращались в ноль, иначе возможна потеря некоторых значений.

Задача №2

Рассмотрим обыкновенный пример. Необходимо определить все возможные решения диффуравнения y' = y(x² + e^x)

Как решать? В первую очередь проводим разделение переменных в разные части уравнения:

Данные преобразования справедливы, если у ≠ 0.

Если рассмотреть вариант решения при нулевом показателе функции, то можно заметить ,что

Это означает, что y = 0 – одно из возможных решений задачи.

Рассмотрим другие варианты решений, для чего произведем интегрирование диффуравнения:

Финальная часть преобразований будет вторым решением диффуравнения. Останется только потенциировать это выражение, чтобы привести его к более явному виду:

Правильными решениями, в результате преобразований, будут:

Кроме того, можно воспользоваться онлайн системой для нахождения ответа. Подробные объяснения даны в решебниках Филиппова и Понтрягина.

Линейные неоднородные ДУ первого порядка

Линейные неоднородные уравнения – это такие выражения, которые можно записать в формате y' + b(x)y = f(x), при этом функции b(x) и f(x) – непрерывные.

Основной принцип при нахождении решения сводится к следующим шагам:

Первым делом для уравнения необходимо произвести поиск решения, которое бы соответствовало линейному однородному диффуравнению.
Затем необходимо варьировать произвольной постоянной, производя ее замену на функцию.
На финальном этапе функция подставляется в первоначальное уравнение, откуда, решая ДУ, получается ответ.

Задача №3

Рассмотрим применение методики решения на примере.

Необходимо найти решение дифференциального уравнения вида

Решение заключается в следующем. Первоначально примем, что y = m∗n, следовательно, получается:

На следующем этапе нужно определить, что такое m (оно обязательно не должно быть равным нулю), при котором все выражение внутри скобок будет равно нулю.

Получаем дополнительное дифференциальное уравнение:

Теперь необходимо принять одно из частных решений n = x² + 1, которое соответствует равенству С₂- С₁=0.

Выполняем оставшиеся преобразования:

Вполне очевидно, что ответом на условие задачи будет функция:

Задача Коши для ДУ

При рассмотрении решения практически любого диффуравнения, имеющего вид F(m,n,n') = 0, становится очевидно, что это бесконечно большое количество решений (это следствие самого возникновения диффуравнения).

На данном этапе математики сталкиваются с вопросом о выборе конкретного решения и способе его выделения из множества.Иными словами, если представить решения в виде бесконечного множества интегральных кривых, то необходимо найти среди них нужную.

Чтобы это сделать, необходимо рассмотреть плоскость X_oy, где должна быть задана некая точка D₀, имеющая координаты (x₀, y₀) – именно через них и должна пройти интегральная кривая, чтобы стать искомым ответом.

Когда мы с самого начала задаем точку D₀(x₀, y₀) – это означает, задание начального условия y(x₀) = y₀. Диффуравнение, для которого определено начальное условие в представленном формате, называется уравнением с заданной задачей Коши.

Задача №4

Рассмотрим примеры с объяснениями. Необходимо определить решения задачи Коши вида:

Ход решения строится в три этапа. На первом этапе решаем диффуравнение y' = xy² стандартным методом. Его решение приводить не будем, приведем только ответ:

Производим подстановку начального значения (х = 0, у = 1) в решение и находим значение С:

Производим подстановку полученного значения в ответ диффуравнения и получаем одно из частных решений:

Полученная функция – ответ на задачу Коши в этом примере.

Дифференциальные уравнения Бернулли

ДУ Бернулли обычно представлено в следующем виде:

y' + b(x)y = c(x)yⁿ

Обязательное условие, что функции b(x) и c(x) – являются непрерывными.

Задача №5

Рассмотрим общее решение данного типа на примере. Необходимо выполнить поиск всех возможных решений уравнения:

Во время оценки уравнения в нем можно идентифицировать ДУ Бернулли с параметром ½. Оно легко сводится к линейному ДУ, для этого достаточно заменить выражения:

Находим производную:

Выполним деление по начальному уравнению Бернулли на

и выполним необходимые преобразования:

Произведем замену параметра х на параметр у:

Теперь вычисляем интегрирующий модуль для данной функции, он будет равен:

Теперь производим ряд преобразований для вычисления решения диффуравнения:

Переписываем полученную функцию в неявном виде и получаем ответ:

Дифференциальные уравнения второго порядка

Отличить ДУ 2-го порядка от таковых 1-го порядка достаточно просто – в их составе присутствует вторая производная (y’’) и не содержится производных более высокого уровня.

Общий вид таких уравнений таков:

F(m,n,n',n") = 0

Линейные однородные ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами

Определение линейных дифференциальных однородных уравнений 2-го порядка крайне просто – они имеют вид:

y" + ry' + k = 0

При это важным условием теории является причисление r и k к действительным числам.

Задача №6

Рассмотрим решение однородных диффуравнений 2-го порядка с постоянными коэффициентами на примере.

Найти решение диффуравнения 2-го порядка вида:

Во всех таких случаях начинаем с поиска характеристического уравнения:

Методы решения данного уравнения достаточно простые, можно воспользоваться калькулятором или быстро решить на листочке, поэтому их приводить не будем, запишем лишь корни – 1, 5.

Поскольку это все действительные, неодинаковые числа, то можно записать функцию-решение в следующем виде:

Линейные неоднородные ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами

Общий вид неоднородных диффуравнений второго порядка легко определить по представленному образцу:

y" + ry' + ky = f(x)

Переменные r и k должны быть вещественными и постоянными числами.

Задача №7

Рассмотрим подробное решение. Необходимо определить все решения для уравнения y" + y = cos x.

На первом этапе находим в составе неоднородного уравнения его однородную часть – это будет y" - y = 0.

Для него уже выполняем поиск характеристического уравнения – оно будет иметь вид k² + 1 = 0.

Корнями для данного характеристического уравнения являются k₁ = -i и k₂ = i.

Исходя из этого записываем решение для однородного уравнения:

Из-за отсутствия параметра с производной первого порядка также будет справедливо записать:

Теперь остается только подставить найденные выражения:

Частное и общее решение для уравнения можно записать:

Дифференциальные уравнения высших порядков

Дифференциальные однородные уравнения высших порядков легко отличить, если они совпадают со следующим видом:

Для неоднородных справедлив другой формат:

Для выбора корректного пути решения ДУ, необходимо четко и правильно определить его тип.

Для этого необходимо решить уравнение относительно его производной и проверить, возможно ли разложение функции на множители. После этого достаточно сравнить с одним из типов, приведенным в данной статье.