Разложение на множители - правило, алгоритм, примеры и решения

Термины и понятия
Под разложением в математике понимается операция, которую выполняют для превращения сложного неудобного для вычисления примера в простой. В учебниках и литературе такое преобразование выражений называется тождественным, то есть без изменения сути задания.
Из слова «множители» можно понять, что в превращении используется умножение. Зная, как разложить полином на простые числа, можно быстро решать задачи на действия с корнями и сложными дробями. Например, выражение (3*h*y + 9*y — 8*h — 24) * (3*h — 8) после упрощения примет вид: h + 3 — и быстро решается в уме.
В математике все алгебраические выражения могут быть:

- Одночленными. Это уравнения, состоящие из чисел, натуральных степеней и не содержащие никаких других арифметических действий, кроме умножения. Числовой множитель выражения называют коэффициентом.
- Многочленными. Включающими в себя сумму нескольких одночленов. Если выражение, кроме произведения, не содержит другие арифметические операции, такие как деление, возведение в степень, его называют целым.
Числа часто записывают в так называемом стандартном виде. Например, 296,8 = 2,968 * 102. То есть используется формула приведения: a * 10r, где 1≤а<10, а r — целое число, обозначающее порядок.
Каноническим правилом является следующее: любое простое число можно представить как произведение его составляющих. Так, 12 можно представить как 6 х 2, в свою очередь, 6 — как 3 х 2. Таким образом, будет верной запись: 12 = 3 х 2 х 2. На этом принципе построено упрощение любого выражения. Простые цифры 3, 2, 2 и являются множителями, на которые раскладывают пример.
Существуют пять способов преобразования многочленов (полиномов):

- вынесение общего коэффициента для каждого члена за скобку;
- трансформация по формулам сокращённого умножения;
- способ группирования;
- нахождение и выделения полного квадрата;
- разложение на простые множители.
Какой способ использовать, зависит от вида многочлена. Универсального метода, подходящего к любому решению, не существует. Поэтому для решения задачи нужно правильно определить, какой метод применять лучше всего, особенно это важно для чайников.
Простое разложение
На уроках математики ученикам предлагают разложить на простые множители числа с помощью столбика (двух колонок). Делается это по следующему алгоритму. Исходное число проверяют на возможность деления без остатка на два. Если делится, то рисуют две колонки, в правую вписывают двойку, а в левую число, получившееся после деления на него исходного. В обратном случае вместо двойки используют цифру три. Далее действия повторяют для числа, находящегося уже в правой колонке. Выполняют деление до тех пор, пока в левой колонке не останется единица. Например, число 1176 можно разложить следующим образом:
1176 | 2 (1176 / 2 = 588).

588 | 2 (588 / 2 = 294).
294 | 2 (294 / 2 = 147).
147 | 2 (147 / 3 = 49).
49 | 2 (49 / 7 = 7).
7 | 2 (7 / 7 = 1).
1176 = 2 * 2 * 2 * 3 * 7 * 7 = 23 * 3 * 72.
Для того чтобы понять алгоритм, лучше рассмотреть ещё несколько интересных примеров:
- 7140 = 2 • 2 • 3 • 5 • 7 • 17 = 2 2 • 3 • 5 • 7 • 17;
- 5544 = 2 • 2 • 2 • 3 • 3 • 7 • 11 = 2 3 • 32 • 7 • 11;
- 4104 = 2 • 2 • 2 • 3 • 3 • 3 • 19 = 2 3 • 33 • 19;
- 546 = 2 • 3 • 7 • 13;
- 510 = 2 • 3 • 5 • 17;
- 495 = 3 • 3 • 5 • 11 = 3 2 • 5 • 11;
- 224 = 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 7 = 2 5 • 7;
- 208 = 2 • 2 • 2 • 2 • 13 = 2 4 • 13;
- 156 = 2 • 2 • 3 • 13 = 2 2 • 3 • 13;
- 126 = 2 • 3 • 3 • 7 = 2 • 3 2 • 7;
- 118 = 2 • 59.
Используя метод, можно представить любое число как произведение простых множителей, но с условием, что изначально оно будет кратным двум или трём. В ином же случае простые множители подобрать не получится, как, например, для числа 247, которое можно заменить произведением чисел 13 и 19.
Вынесение коэффициента
Это довольно простой способ разложения многочлена. Выполняют его с помощью перестановки общего множителя за скобку, в которой остаётся сумма выражения. То есть для этого метода необходимо представить искомое в виде произведения нескольких полиномов.
Чтобы выделить общий множитель, следует выполнить:
- для численного выражения — найти число, на которое можно будет разделить без остатка любой коэффициент одночлена;
- для выражения с неизвестным — определить неопределённое число, повторяющееся в каждом одночлене, и вынести его за скобку в наименьшей степени;
- рассчитать многочлен, стоящий в скобках.

Например, пусть дано выражение: 3у2 — 3y + 6 r*y. Согласно правилу, необходимо найти число, на которое без остатка можно разделить каждый из трёх коэффициентов многочлена. Для рассматриваемого примера это будет цифра 3.
Затем определить буквенный множитель, имеющийся в каждом члене выражения. Найденную цифру и повторяющееся неизвестное с наименьшей степенью записать за скобкой. Теперь нужно каждый одночлен разделить на вынесенное значение, а полученный результат записать в скобках: 3y * (y — 1 + 2r). Для проверки правильности действий нужно просто раскрыть скобки путём умножения каждого члена на вынесенный множитель.
Формулы умножения
Довольно часто для упрощения расчётов используют формулы сокращённого умножения. Всего существует семь выражений, которые необходимо выучить. Найти их можно в таблицах любого учебника по алгебре за седьмой класс. Смысл этих теорем в следующем:

- Разность двух членов, стоящих во второй степени, прямо пропорциональна произведению разности этих членов на их сумму. Например, 16 2 — 3 2 = (16 — 3) * (16 + 3) = 247 или 9 * h 2 — 4 * e 2 * h 2 = (3 * h — 2 * e * h) * (3 * h — 2 * e * h).
- Квадрат суммы двух членов можно разложить на квадрат первого элемента и удвоенное произведение его на второй элемент, прибавив квадрат второго члена. Используя это правило, можно быстро находить квадрат числа без использования калькулятора. Например, 114 2 = (100 +14) = 100 2 + 2 * 100 * 14 + 14 2 = 10000 + 2800 + 196 = 12966.
- Квадрат разности двух членов равняется квадрату первого члена с вычетом из него двойного произведения первого на второй с добавлением квадрата второго члена. В этом правиле используют обыкновенное раскрытие скобок. Например, (6 — 3) 2 = 6 2 — 2 * 6 * 3 + 3 2 = (3 — 6) 2 = 9 .
- Кубическая сумма двух выражений определяется кубом первого члена с прибавлением к нему утроенного произведения исходного числа в степени два на второй член, плюс увеличенное в три раза произведение исходного числа на квадрат второго с прибавлением этого элемента в третьей степени. Например, (2h+7e) 3 = (2 * h) 3 + 3 * 2 * h 2 * 7* e + 3 * 2h * (7 * e) 2 + (7 * e) 3.
- Куб разности находится вычитанием из исходного числа утроенного произведения первого члена, возведённого во вторую степень, с прибавлением утроенного произведения исходного члена на второй в степени два минус его куб. Например, (4 * h − 2 * e) 3 = (4 * h) 3 − 3 * (4 * h) 2 * 2 * e + 3 * 4 * h * (2 * e) 2 − (2 * e) 3 .
- Сумма кубов находится как произведение суммы членов на неполный квадрат разности: (5 * h) 3 + 8 3 = (5 * h + 8) * ((5 * h) 2 − 5 * h * 8 + 8 2). Неполным квадратом называют выражение: (h 2 — h * e + e 2).
- Разность кубов равна выражению, полученному перемножением разности двух чисел на неполный квадрат суммы: h3− e3 = (h − e) * ((h 2 +h) * (e + e 2)).
Все эти формулы умножения можно использовать также в обратную сторону, то есть собирать многочлен. Например, для решения примеров типа: «квадратный трёхчлен разложен на множители, найдите а». Если понять смысл этих формул, то запомнить их наизусть будет довольно легко.
Метод группировки
Пожалуй, самый распространённый способ разложения на множители. Его удобно применять для упрощения квадратных уравнений без поиска корней. Разложение этим методом выполняют в следующей последовательности действий:

- выбирают повторяющиеся неизвестные и записывают друг за другом одночлены с одинаковыми множителями;
- в каждой группе находят одинаковый множитель и переносят его за скобку;
- находят общий полином и отделяют его скобками.
Выполнять группировку можно по-разному, но в итоге обязательно должен остаться общий многочлен. Например, выражение 48 * h * e 2 + 32 * h * q — 15 * e 2 — 10 * q2 возможно решить двумя способами.
- Изучив выражение, можно заметить, что во всех членах уравнения повторяются две неизвестные. Выписав их друг за другом, а затем вынеся общий множитель за скобку, можно будет записать: 48 * h * e2 + 15 * e2 + 32 * h * q2 − 1 0 * q2 − 10 * q2 = 3 * e2 (16 * h − 5) + 2 q2 (16 * h — 5) = (16 * h − 5) * (3 * e2 + 2 * q2).
- Во втором способе можно использовать то, что в первых одночленах повторяется неизвестная h. Вынеся её за скобку, получают следующее упрощение: 48 * r * z2 + 32 * r * y2 − 15 * z2 − 10 * y2 = 16 * h * (3 * e2 + 2 q2) − 5 (3 * e2 + 2 q2) = (3 * e2 + 2 * q2) * (16 * h − 5).
Для того чтобы вынести многочлен за скобку, может понадобиться инвертировать все знаки. Следует помнить, что при выносе минуса у всех одночленов, оставшихся под скобкой, знак изменится на противоположный.
Выделение квадрата
По сути, выделение общего квадрата соответствует преобразованию, при котором трёхчлен представляют в виде (k + e)2 или (k — e)2. Метод используется для решения биквадратных уравнений. Для выделения полного квадрата при разложении многочлена на множители применяют две формулы:
- k2 + 2 * k * e + e2 = (k + e)2.
- k2 — 2 * k * e + e2 = (k — e)2.
Например, нужно упростить дробь: (k4 + 4 * e4) / (k4 + 2 * e2 + 2 * k * e). Необходимо разложить числитель, используя формулы для полного квадрата: (k4 + 4 * e4) = (k4 + 4 * e2 * k2 + 4 * e 4). Значит, если отнять от многочлена 4 * k2 * e2, то получится уравнение: (k2 + 2 * e2) * 2 − 4 * k2 * e2. Используя формулу умножения квадратов, верно будет записать: (k2 + 2 e 2 − 2 * k * e) * (k2 + 2 e 2 + 2 * k * e).

Заменив полученным выражением числитель, можно будет его часть взаимно сократить со знаменателем. В итоге получится простое выражение: h2 + 2 * e2 − 2 * h * e.
Неприводимые множители
Решая различные задачи, можно столкнуться со сложными выражениями, которые, как кажется, разложить нельзя. Например, (2 * p2 — 5 * p — 3)/(3 * p — 9). В числителе дроби находится квадратный трёхчлен, который на самом деле можно разложить. Для того чтобы его можно было упростить, используется формула: ar2 + br + p = a (r — r1) * (r — r2), где r1 и r2 корни выражения.

Чтобы найти решения для линейного уравнения, необходимо определить дискриминант. То есть нужно из задачи отделить числитель, найти его решения и подставить найденные значения в формулу разложения.
Для рассматриваемого примера дискриминант квадратного уравнения будет равняться: Д = 25 — 4*2 (-3) = 49. Отсюда p1 = (5 + 7)/4 = 3, p2 = (5 — 7)/4 = -½. Подставив полученные корни в формулу, можно запись: 2 * (p — 3) * (p + ½).
Теперь вместо числителя нужно подставить полученное разложение: (2*p2 — 5*p — 3)/(3*p — 9) = 2*(p — 3) * (p + ½)/3 * (p — 3) = (2 *p + 1)/3.
Использование онлайн-калькуляторов

Порой, для решения сложных заданий нужно затратить много времени. При этом всегда существует риск допустить ошибку при расчётах. Чтобы этого избежать или проверить свой ответ, можно воспользоваться сайтами, предлагающие онлайн-калькуляторы. Использовать их сможет даже пользователь, совершенно не понимающий методов, используемых для упрощения выражений.
Расчёт обычно занимает менее 30 секунд. Приложений для упрощений уравнений достаточно много. Написаны они на Паскале или javascript. Появление ошибки при вычислении невозможно. Нередко на этих сайтах ещё и содержится информация о способах упрощения полиномов.
Для того чтобы получить ответ, необходимо будет с помощью браузера зайти на сайт онлайн-калькулятора и заполнить предлагаемые им поля. После того как упрощаемое выражение будет вписано, следует нажать кнопку «Рассчитать» или «Упростить выражение» и получить ответ с пошаговым решением.
Все тесты
- Астрономия
- Биология
- Краткие содержания
- ОБЖ
- Психология
- Пунктуация
- Орфография
- Фонетический разбор
- Экономика
- Сочинения
- Карьера
- Биографии
- Физика
- Геометрия
- Алгебра
- География
- Подготовка к ЕГЭ
- Химия
- История
- Литература
- Обществознание
- Математика
- Окружающий мир
- Русский язык
- Информатика
- Правоведение
- Тест на тему Тест: Чем занимается орнитолог? 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Основные признаки паукообразных 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Характеристика гомологичных и аналогичных органов растений 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Биология как наука это? 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Что вы знаете о классе ресничные черви? 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Что вы знаете о ленточных червях? 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Что вы знаете о семействе лилейных? 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Как происходит питание грибов? 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Строение и жизненный цикл печеночного сосальщика 5 вопросов
- Тест на тему Значение поведения в жизни организмов 5 вопросов
- Тест на тему Нейрогуморальная регуляция процессов жизнедеятельности организма 5 вопросов
- Тест на тему Раздражимость – свойство живых организмов 5 вопросов
- Тест на тему Основные закономерности изменчивости 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Значение двигательной активности для здоровья человека 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Организм как единое целое 5 вопросов
- Тест на тему Основные способы движения животных 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Искусственные экосистемы - что это и для чего нужны 5 вопросов
- Тест на тему История развития органического мира 5 вопросов
- Тест на тему Личная гигиена и здоровье человека 5 вопросов
- Тест на тему Виды и особенности двоякодышащих рыб 5 вопросов
- Тест на тему В чем разница между плазмолизом и деплазмолизом? 5 вопросов
- Тест на тему Виды и особенности насекомоядных животных 5 вопросов
- Тест на тему Типы и описание работы механорецепторов 5 вопросов
- Тест на тему Методы и значение селекции микроорганизмов 5 вопросов
- Тест на тему Строение и особенности кровеносной системы 5 вопросов
- Тест на тему Строение и функционирование кровеносной системы рыб 5 вопросов
- Тест на тему Признаки и связь генотипа и фенотипа 5 вопросов
- Тест на тему Описание процессов ассимиляции и диссимиляции 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Что вы знаете о "Слоненке" Р. Киплинга? 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Что вы знаете о сказке Винни Пух? 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Что вы знаете о басне "Квартет" 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Сюжет и краткое содержание сказки Золотой гусь 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Краткое содержание и герои сказки Сладкая каша 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Что вы знаете о басне Волк и Журавль? 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Сюжет и краткое содержание сказки Обыкновенный великан 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Как вы знаете Волшебника страны Оз? 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Краткое содержание повести Иван, написанной Богомоловым 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Краткое содержание романа Бедные люди 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Краткий пересказ «Реквиема» А. Ахматовой 5 вопросов
- Тест на тему Свойства и развитие высших психических функций человека 5 вопросов
- Тест на тему Классификация поведенческих реакций человека 5 вопросов
- Тест на тему Чем интроверты отличаются от экстравертов? 5 вопросов
- Тест на тему Обзор методов профилактики стресса 5 вопросов
- Тест на тему Симптомы и методы борьбы с апатией 5 вопросов
- Тест на тему Что такое ненасильственное, или экологичное общение: методика Розенберга 5 вопросов
- Тест на тему «Подскажите пожалуйста» – выделяется запятыми или нет 5 вопросов
- Тест на тему «Интересно» – выделяется запятыми или нет? 5 вопросов
- Тест на тему «При необходимости» – выделяется запятыми или нет? 5 вопросов
- Тест на тему «По возможности» – выделяется запятыми или нет? 5 вопросов
- Тест на тему «На мой взгляд» – выделяется запятыми или нет? 5 вопросов
- Тест на тему “Собственно”: выделяется запятыми или нет? 5 вопросов
- Тест на тему «В отличие от»: запятая нужна или нет? 5 вопросов
- Тест на тему «Естественно»: выделяется запятыми или нет? 5 вопросов
- Тест на тему Тест: «ПодрОсли» или «подрАсли» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «ПослЕ» или «послИ» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «ПравилО» или «правилА» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «МалЕнький» или «малИнький» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «ВЕди» или «вИди» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему Тест: «Несчастье» или «не счастье» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «ИзгибаТЬся» или «изгибаТся» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «ВЕлико» или «вИлико» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «КАртина» или «кОртина» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «КомнАта» или «комнОта» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «ОбидЕться» или «обидИться» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «МОрозов» или «мАрозов» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «Овраг» или «Авраг» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему Тест: «ГлаСный» или «глаСТный» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «ОпредЕлить» или «опредИлить» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «СерДЦе» или «серЦе» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «КОльцо» или «кАльцо» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «АВтобус» или «аФтобус» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «КроССворд» или «кроСворд» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «АВтомобиль» или «аФтомобиль» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «ПечЁнка» или «печОнка» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «Дед Мороз» или «дед Мороз» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «НачИнающих» или «начЕнающих» - как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «ПрАшло» или «прОшло» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «ПИсать» или «пЕсать» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «ЦелЕй» или «целИй» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «СледУЮщую» или «следУщую» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «ПОшло» или «пАшло» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «Осеннюю» или «осенюю» – как правильно пишется 5 вопросов
- Тест на тему «РаССтраивайся» или «раСтраивайся» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «УчаСТвующих» или «учаВствующих» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «Вырастать» или «выростать» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «Затем» или «за тем» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «Всерьез» или «в серьез» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «Те же» или «теже» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «РаСтаять» или «раССтаять» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «ПозвОню» или «позвАню» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «ЗадаННых» или «задаНых» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «Не рАскрыта» или «не рОскрыта» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «ПЕтляющий» или «пИтляющий» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «ПрЕдать» или «прИдать» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «УвАжать» или «увОжать» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему СГС, ПГС, СИС: виды сказуемых и как их отличать 5 вопросов
- Тест на тему Правописание суффиксов -н- и -нн- в кратких причастиях 5 вопросов
- Тест на тему Правописание суффиксов -ива, -ева в глаголах 5 вопросов
- Тест на тему Правописание суффиксов -ем, -им в причастиях 5 вопросов
- Тест на тему Тест: «Случай» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Удобнее» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Надолго» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Локтя» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Откупорить» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Стоящий» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Ненадолго» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Деланный» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Бальмонт» – как правильно ставить ударение 5 вопросов
- Тест на тему «Ударный» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему Сжатое изложение на тему «Испытания ждут дружбу всегда» 5 вопросов
- Тест на тему Сочинение на тему: «Философия истории в романе Л. Н. Толстого “Война и мир”» 5 вопросов
- Тест на тему Сочинение на тему: «Великая Отечественная война в моей семье» 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Сочинение ЕГЭ на тему: «Борьба с фашизмом была, может быть, первой в истории человечества всемирной заботой» 5 вопросов
- Тест на тему Сочинение на тему: «Репортаж с новостройки» 5 вопросов
- Тест на тему Сочинение на тему: «Романтика в нашей жизни» 5 вопросов
- Тест на тему Образ Луки в пьесе «На дне» М. Горького 5 вопросов
- Тест на тему Сочинение на тему: «Смысл названия пьесы “Гроза”» 5 вопросов
- Тест на тему Сочинение на тему: «Жизненные принципы Чацкого и Молчалина» 5 вопросов
- Тест на тему Сочинение на тему: «Мое отношение к Петру Гриневу» 5 вопросов
- Тест на тему Смысл эпиграфа к поэме «Мцыри» М. Лермонтова 5 вопросов
- Тест на тему Сочинение на тему: «Блокада Ленинграда» 5 вопросов
- Тест на тему Сочинение на тему: «Интерьер моего класса» 5 вопросов
- Тест на тему Сочинение на тему: «Описание смиренной, но опрятной обители» 5 вопросов
- Тест на тему Как соседи относились к Дубровскому в одноименном романе Пушкина? 5 вопросов
- Тест на тему Отношение Кирсанова и Базарова к аристократии 5 вопросов
- Тест на тему Философия и жизненные принципы Сатина 5 вопросов
- Тест на тему Анализ романа “Преступление и наказание” Ф. Достоевского 5 вопросов
- Тест на тему Анализ комедии “Ревизор” Н. Гоголя 5 вопросов
- Тест на тему «Почему мне понравился роман “Дубровский”» 5 вопросов
- Тест на тему Образы героев в рассказе “Детство Темы” Н. Гарина-Михайловского 5 вопросов
- Тест на тему Образы героев в сказке “Снежная королева” Х. К. Андерсена 5 вопросов
- Тест на тему Образы героев в повести “Муму” И. Тургенева 5 вопросов
- Тест на тему Сочинение на тему: «Один день из жизни Ильи Обломова» И. Гончарова 5 вопросов
- Тест на тему Болезнь и смерть отца Владимира Дубровского - краткий пересказ 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Биография Чарльза Диккенса: детство, книги, личная жизнь 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Биография поэтессы Надежды Тэффи 5 вопросов
- Тест на тему Тест:Иван Шмелев: биография русского писателя, оказавшегося в эмиграции 5 вопросов
- Тест на тему Биография писателя Василия Белова 5 вопросов
- Тест на тему Биография австрийского композитора Йозефа Гайдна 5 вопросов
- Тест на тему Нерон: тиран и убийца или настоящий император? 5 вопросов
- Тест на тему Биография советского поэта Р. Гамзатова 5 вопросов
- Тест на тему Биография советского писателя и поэта В. Шаламова 5 вопросов
- Тест на тему Биография российского государственного деятеля П. Столыпина 5 вопросов
- Тест на тему Биография русского поэта В. Хлебникова 5 вопросов
- Тест на тему Биография инженера-изобретателя М. Калашникова 5 вопросов
- Тест на тему Биография поэта и писателя Вальтера Скотта 5 вопросов
- Тест на тему Биография башкирского поэта и писателя Мустая Карима 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Что вы знаете об усеченной пирамиде? 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Как хорошо вы знаете теорему о сумме углов треугольника? 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Что такое высота треугольника и как ее вычислить 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Что такое радиус шара и как его найти 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Виды и особенности земельных ресурсов России и мира 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Каково географическое расположение Крыма? 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Какие климатические пояса в Австралии? 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Внутренние воды Северной Америки 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Что включают в себя агроклиматические ресурсы? 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Какие моря есть в бассейне Северного Ледовитого океана? 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Что вы знаете о Восточно-Сибирском море? 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Что вы знаете об Охотском море? 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Какие океаны и моря омывают берега Африки 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Топ-10 самых необычных животных-эндемиков Австралии 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Что такое астероиды и когда они появились 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Население российского Поволжья: численность, этносы, традиции 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Полезные ископаемые Египта и особенности рельефа 5 вопросов
- Тест на тему Список портов, которые относятся к Северному Ледовитому океану 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Почва как особое природное образование 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Атмосфера и человек - влияние и взаимодействие 5 вопросов
- Тест на тему Литосфера и человек - изучение оболочки Земли 5 вопросов
- Тест на тему Мировой транспорт, его роль в размещении и развитии мирового хозяйства 5 вопросов
- Тест на тему Хозяйство Дальнего Востока - характеристика и особенности 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Географическое положение, население и особенности природы Дальнего Востока 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Размещение населения по территории нашей страны 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Районы Евразии - деление и характеристика 5 вопросов
- Тест на тему 10 распространенных растений в тропических лесах 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Формы и особенности рельефа зоны лесов 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Условные обозначения полезных ископаемых на карте 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Какие животные обитают во влажных тропических лесах 5 вопросов
- Тест на тему Герои космоса - доклад по географии 5 вопросов
- Тест на тему Земная кора: что это, строение и состав 5 вопросов
- Тест на тему Виды и характеристика вулканов нашей планеты 5 вопросов
- Тест на тему Список крупнейших городов Восточной Сибири 5 вопросов
- Тест на тему Характеристика растений Северной Америки 5 вопросов
- Тест на тему Основные течения Северного ледовитого океана 5 вопросов
- Тест на тему География гор Хибинов: расположение, рельеф, вершины 5 вопросов
- Тест на тему Рельеф и полезные ископаемые Балтийского щита 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Как правильно решать математические задачи на ЕГЭ 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Что делать с неиспользованными черновиками на ЕГЭ? 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Сочинение ЕГЭ на тему: «Письмо солдату от школьника» 5 вопросов
- Тест на тему Сочинение ЕГЭ на тему: «Какие человеческие качества для вас наиболее ценны?» 5 вопросов
- Тест на тему Сочинение ЕГЭ на тему: «Изменить себя и изменить себя - в чем разница?» 5 вопросов
- Тест на тему Сочинение ЕГЭ на тему: «Что может привести человека в отчаяние?» 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Минимальное количество баллов ЕГЭ 2023 по всем предметам 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Все средства художественной выразительности для ЕГЭ 2023 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Сочинение ЕГЭ на тему: «Честь и совесть: как связаны эти понятия?» 5 вопросов
- Тест на тему Сочинение ЕГЭ на тему: «Можно ли прожить без мечты?» 5 вопросов
- Тест на тему Сочинение ЕГЭ на тему: «Нужно ли стремиться понять себя?» 5 вопросов
- Тест на тему Сочинение ЕГЭ на тему: «Природа и культура в жизни человека» 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Сочинение ЕГЭ на тему: «Семья, общество и Отечество в жизни человека» 5 вопросов
- Тест на тему Сочинение ЕГЭ на тему: «Духовно-нравственные ориентиры в жизни человека» 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Сочинение ЕГЭ на тему: «Какие средства не оправдывает никакая цель?» 5 вопросов
- Тест на тему Сочинение ЕГЭ на тему: «Способен ли робкий человек совершить смелый поступок?» 5 вопросов
- Тест на тему Сочинение ЕГЭ на тему: «Какую жизненную цель можно назвать благородной?» 5 вопросов
- Тест на тему Аргументы и тезисы к сочинению ЕГЭ 2023 по русскому языку на тему: «Природа и человек» 5 вопросов
- Тест на тему Аргументы из литературы к сочинению ЕГЭ 2023 на тему: «Любовь» 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Структура сочинения на ЕГЭ по русскому языку 2023 года 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Типичные ошибки школьников при написании ЕГЭ по русскому языку 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Сочинение ЕГЭ на тему: «Как война влияет на человека» 5 вопросов
- Тест на тему Аргументы для итогового сочинения по роману «Капитанская дочка» А.С. Пушкина 5 вопросов
- Тест на тему Аргументы для итогового сочинения по роману «Война и мир» Л. Н. Толстого 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Зачем Петр 1 подписал указ о единонаследии 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Когда и кем был подписан Бахчисарайский мир? 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Колониальный захват Африки в 19-20 веках 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Что вы знаете о теории официальной народности 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Что вы знаете о петровском обществе? 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Что вы знаете про Башкирское восстание? 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Что вы знаете про внешнюю политику России в 1725 -1762 годах? 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Экономическое развитие в 2000-е годы 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Политическая жизнь России в начале XXI века 5 вопросов
- Тест на тему Геополитическое положение России, её внешняя политика в 90-е гг. 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Национальная политика: Сопротивление имперским амбициям СССР 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Демократизация политической системы в СССР 5 вопросов
- Тест на тему Экономическая политика Б.Н. Ельцина и его команды 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Северо-Западная Русь Между Востоком и Западом 5 вопросов
- Тест на тему Римская империя в период правления императора Константина 5 вопросов
- Тест на тему Тест: История Черниговского княжества: основные события, экономика, культура 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Краткая история Великого княжества Смоленского 5 вопросов
- Тест на тему Период бироновщины в истории России 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Как Русь освободилась от ордынского ига 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Как было организовано общество в Древней Руси 5 вопросов
- Тест на тему Как жило племя радимичей в Древней Руси 5 вопросов
- Тест на тему Биография Всеволода Большое гнездо и годы правления 5 вопросов
- Тест на тему История русско-польской войны: причины, ход, итоги 5 вопросов
- Тест на тему Годы правления князя Василия 3 Ивановича 5 вопросов
- Тест на тему Как жили крестьяне при Петре 1? 5 вопросов
- Тест на тему Тест: История вхождения Украины в состав России в 17 веке 5 вопросов
- Тест на тему Принятие Новоторгового устава в 1667 году: суть и значение 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Как был подписан вечный мир России с Польшей в 1686 году 5 вопросов
- Тест на тему Суть и условия Андрусовского перемирия России и Речи Пополотой 5 вопросов
- Тест на тему Краткая история Киевской Руси в период 9-12 века 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Основные занятия и быт древних славян 5 вопросов
- Тест на тему Суть и условия Белградского мира с Турцией 5 вопросов
- Тест на тему Как жили племена полян в Древней Руси 5 вопросов
- Тест на тему Суть и последствия акта о супрематии в Англии в 1534 году 5 вопросов
- Тест на тему Биография Ивана 2 Красного и основные события во время княжения 5 вопросов
- Тест на тему Детали Угличского дела (убийства царевича Дмитрия) 5 вопросов
- Тест на тему Участие батареи Раевского в Бородинском сражении 5 вопросов
- Тест на тему История битвы при Нейзби: предпосылки, ход, итоги 5 вопросов
- Тест на тему История Великого шелкового пути между Азией и Средиземноморьем 5 вопросов
- Тест на тему Период иконоборчества: сущность, предпосылки и хронология 5 вопросов
- Тест на тему Поход женщин на Версаль 5–6 октября 1789 5 вопросов
- Тест на тему Краткая история Карлукского каганата 5 вопросов
- Тест на тему История Великой Булгарии: от образования до распада 5 вопросов
- Тест на тему История зарождения демократии в Афинах 5 вопросов
- Тест на тему Главные события в истории Древнего мира 5 вопросов
- Тест на тему История образования славянских государств 5 вопросов
- Тест на тему Как было образовано Нововавилонское царство 5 вопросов
- Тест на тему История Людовика 18 - короля в изгнании 5 вопросов
- Тест на тему Правление и казнь короля Людовика 16 5 вопросов
- Тест на тему Как речь Уинстона Черчилля в Фултоне положила начало Холодной войны 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Как М. Шолохов создал "Тихий Дон"? 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Анализ поэмы «Василий Теркин» А. Твардовского 5 вопросов
- Тест на тему Новаторские идеи А. П. Чехова в драматургии 5 вопросов
- Тест на тему Образы героев рассказа “Лапти” И. Бунина 5 вопросов
- Тест на тему Образы героев в поэме “Русские женщины ” Н.А. Некрасова 5 вопросов
- Тест на тему Образы героев в рассказе “Цифры” И. Бунина 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Образы героев повести “Отрочество” Л.Н. Толстого 5 вопросов
- Тест на тему Образы героев в повести “Нос” Н.В. Гоголя 5 вопросов
- Тест на тему Образы героев в рассказе “Изумруд” А.И. Куприна 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Образы героев баллады “Василий Шибанов” А. Толстого 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Образы героев рассказа “Размазня” А.П. Чехова 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Образы героев в рассказе “Русский характер” А.Н. Толстого 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Образы героев в рассказе “В прекрасном и яростном мире” А. Платонова 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Образы героев рассказа “Каштанка” А.П. Чехова 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Образы героев в сказке “Премудрый пискарь” М. Е. Салтыкова-Щедрина 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Образы героев в рассказе “Человек на часах” Н.С. Лескова 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Образы героев в рассказе «Толстый и тонкий» А. П. Чехова 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Образы героев в рассказе «Злоумышленник» А. П. Чехова 5 вопросов
- Тест на тему Образы героев в балладе «Лесной царь» В. Жуковского 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Образы героев в повести «Майская ночь, или Утопленница» Н.В. Гоголя 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Образы героев в романе «Таинственный остров» Жюля Верна 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Образы героев в рассказе «Налим» А.П. Чехова 5 вопросов
- Тест на тему Образы героев в рассказа «Чудик» В. Шукшина 5 вопросов
- Тест на тему Образы героев в поэме «Железная дорога» Н. Некрасова 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Образы героев в сказке «Алиса в Стране чудес» Льюиса Кэрролла 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Образы героев в рассказе «Критики» В. Шукшина 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Образы героев в романе «Слепой музыкант» В. Короленко 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Характеристика Кутузова из романа «Война и мир» Л. Толстого 5 вопросов
- Тест на тему Образ Ромео в пьесе «Ромео и Джульетта» У. Шекспира 5 вопросов
- Тест на тему Образы героев в рассказе «Пересолил» А. Чехова 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Анализ повести «Очарованный странник» Н. Лескова 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Образы героев рассказа “Как я ловил человечков” Б. Житкова 5 вопросов
- Тест на тему Образы героев в сказке “Карлик Нос” Вильгельма Гауфа 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Образы героев в сказке “Городок в табакерке” В. Одоевского 5 вопросов
- Тест на тему Анализ стихотворения “Воспоминания в царском Селе” А. Пушкина 5 вопросов
- Тест на тему Анализ стихотворения “А вы могли бы?” В. Маяковского 5 вопросов
- Тест на тему Образы героев в "Темных аллеях" И. Бунина 5 вопросов
- Тест на тему Персонажи романа "Дон Кихот" Мигеля де Сервантеса 5 вопросов
- Тест на тему Образы героев повести В. Распутина "Прощание с Матёрой" 5 вопросов
- Тест на тему Образы героев повести “Заколдованное место” Н.В. Гоголя 5 вопросов
- Тест на тему Образы героев в рассказе “Лошадиная фамилия” А.П. Чехова 5 вопросов
- Тест на тему Образы героев в сказе “Хозяйка Медной горы” П. Бажова 5 вопросов
- Тест на тему Образы героев повести “Черная курица, или Подземные жители” А. Погорельского 5 вопросов
- Тест на тему Образы героев в романе “Робинзон Крузо” Даниэля Дефо 5 вопросов
- Тест на тему Образы героев в поэме “Руслан и Людмила” А.С. Пушкина 5 вопросов
- Тест на тему Образы героев рассказа “Хирургия” А.П. Чехова 5 вопросов
- Тест на тему Образы героев в романе “Дети капитана Гранта” Жюля Верна 5 вопросов
- Тест на тему Образы героев в рассказе “Васюткино озеро” В. Астафьева 5 вопросов
- Тест на тему Аргументы для итогового сочинения по рассказу «Улыбка» Р. Брэдбери 5 вопросов
- Тест на тему Аргументы для итогового сочинения по рассказу «Чудесный доктор» А. Куприна 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Что вы знаете о социальной дифференциации 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Борьба с международным терроризмом 5 вопросов
- Тест на тему Что такое наследство и как его получить 5 вопросов
- Тест на тему Какими правами и обязанностями обладают налогоплательщики 5 вопросов
- Тест на тему Правовое регулирование в сфере образования 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Семья в России под защитой закона и государства 5 вопросов
- Тест на тему Какие банковские и страховые услуги есть для граждан 5 вопросов
- Тест на тему Особенности общения подростков со сверстниками 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Что вы знаете про борецкую роспись? 5 вопросов
- Тест на тему Пресный водоем как природное сообщество 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Природное сообщество луга 5 вопросов
- Тест на тему Лесное природное сообщество 5 вопросов
- Тест на тему Лесные зоны в России 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Сообщение про манула для школьников 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Сообщение о волчьем лыке по окружающему миру 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Сообщение про грача для учеников 2 класса 5 вопросов
- Тест на тему Описание выдры для детей 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Рассказ про герань по окружающему миру 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Описание и свойства шиповника — доклад для 2 класса 5 вопросов
- Тест на тему Сообщение о планете Юпитер для детей 5 вопросов
- Тест на тему Правила поведения на лугу для детей 5 вопросов
- Тест на тему Доклад о снежном барсе для учеников 2 класса 5 вопросов
- Тест на тему Доклад о работе скорой помощи для детей 5 вопросов
- Тест на тему Организм человека - доклад по окружающему миру 5 вопросов
- Тест на тему Части термометра - доклад для 2 класса 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Что загрязняет воздух - доклад по окружающему миру 5 вопросов
- Тест на тему Правила поведения в общественном транспорте для детей 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Сообщение про скворца для учеников 2 класса 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Описание лебедя — сообщение для 4 класса 5 вопросов
- Тест на тему Рассказ про шмеля по окружающему миру 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Описание и свойства фикуса - доклад для 2 класса 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Описание и применение можжевельника — доклад для 2 класса 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Доклад про гладиолус по окружающему миру 5 вопросов
- Тест на тему Сообщение для 3 класса о Нидерландах 5 вопросов
- Тест на тему Доклад на тему: «Население и культура Австрии» 5 вопросов
- Тест на тему Медуница - описание для детей 5 вопросов
- Тест на тему Кукушка: описание птицы для детей 5 вопросов
- Тест на тему Доклад о панде для учеников 2 класса 5 вопросов
- Тест на тему Лось: описание животного 5 вопросов
- Тест на тему Известные достопримечательности мира 5 вопросов
- Тест на тему Страны Центральной Европы и их столицы 5 вопросов
- Тест на тему Возрождение Руси после ордынского ига 5 вопросов
- Тест на тему Особенности экономики Челябинской области 5 вопросов
- Тест на тему Особенности экономики Кировской области 5 вопросов
- Тест на тему Путешествие по разным материкам Земли 5 вопросов
- Тест на тему Наши подземные богатства 5 вопросов
- Тест на тему Модель цепи питания, схемы и описание 5 вопросов
- Тест на тему 10 интересных фактов о домашних животных 5 вопросов
- Тест на тему Откуда на Земле берется лед 5 вопросов
- Тест на тему Ледяной дождь – что это такое и где его можно увидеть 5 вопросов
- Тест на тему Интересные факты о городе Родос для детей 5 вопросов
- Тест на тему В каких цветах собаки видят наш мир? 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Что изучает наука фразеология? 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Что такое и что изучает лексикология? 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Что такое и что изучает синтаксис русского языка? 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Что изучает наука морфология? 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Что изучает наука фонетика? 5 вопросов
- Тест на тему Тест: что изучает наука морфемика? 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Свод правил речевого этикета для детей 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Что такое однородные и неоднородные определения 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Что такое полные и неполные предложения? 5 вопросов
- Тест на тему Понятие и примеры жаргонизмов в русском языке 5 вопросов
- Тест на тему Как выполнить орфографический разбор слова 5 вопросов
- Тест на тему Правописание падежных окончаний у существительных 5 вопросов
- Тест на тему Сколько шипящих букв в русском алфавите? 5 вопросов
- Тест на тему Правописание гласных -ова-/-ева- в суффиксах глаголов 5 вопросов
- Тест на тему Что такое условное наклонение глагола и как его определить 5 вопросов
- Тест на тему План и примеры морфологического анализа глагола 5 вопросов
- Тест на тему Когда ставится тире в бессоюзном сложном предложении 5 вопросов
- Тест на тему В каких случаях употребляются отрицательные частицы НЕ и НИ 5 вопросов
- Тест на тему Как делать морфологический разбор частицы 5 вопросов
- Тест на тему Виды и примеры придаточных предложений 5 вопросов
- Тест на тему Как проверить парные согласные в корне слова 5 вопросов
- Тест на тему Что такое непарные согласные звуки: виды, примеры 5 вопросов
- Тест на тему Раздельное и дефисное написание частиц 5 вопросов
- Тест на тему Что такое формообразующие частицы и зачем они нужны 5 вопросов
- Тест на тему Правописание сложных союзов также, тоже, чтобы 5 вопросов
- Тест на тему Культура учебно-научного общения 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Синтаксический и пунктуационный разборы сложного предложения с различными видами связи 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Синтаксический и пунктуационный разбор бессоюзного сложного предложения 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Что такое синтаксическая синонимия и для чего она нужна 5 вопросов
- Тест на тему Пунктуационные нормы современного русского языка 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Жанры публицистического стиля речи и их особенности 5 вопросов
- Тест на тему Значение, виды, примеры фразеологизмов в русском языке 5 вопросов
- Тест на тему Список и оттенки значений модальных частиц в русском языке 5 вопросов
- Тест на тему Изменяемые и неизменяемые формы глаголов в русском языке 5 вопросов
- Тест на тему Виды фонетических средств выразительности в русском языке 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Какие файлы есть в информатике? 5 вопросов
- Тест на тему Правовое регулирование в информационной сфере 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Информационные ресурсы и сервисы Интернета 5 вопросов
- Тест на тему Создание и редактирование мультимедийной презентации 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Создание и редактирование текстовых документов на компьютере 5 вопросов