Разложение на множители - правило, алгоритм, примеры и решения

Термины и понятия

Под разложением в математике понимается операция, которую выполняют для превращения сложного неудобного для вычисления примера в простой. В учебниках и литературе такое преобразование выражений называется тождественным, то есть без изменения сути задания.

Из слова «множители» можно понять, что в превращении используется умножение. Зная, как разложить полином на простые числа, можно быстро решать задачи на действия с корнями и сложными дробями. Например, выражение (3*h*y + 9*y — 8*h — 24) * (3*h — 8) после упрощения примет вид: h + 3 — и быстро решается в уме.

В математике все алгебраические выражения могут быть:

1. Одночленными. Это уравнения, состоящие из чисел, натуральных степеней и не содержащие никаких других арифметических действий, кроме умножения. Числовой множитель выражения называют коэффициентом.
2. Многочленными. Включающими в себя сумму нескольких одночленов. Если выражение, кроме произведения, не содержит другие арифметические операции, такие как деление, возведение в степень, его называют целым.

Числа часто записывают в так называемом стандартном виде. Например, 296,8 = 2,968 * 102. То есть используется формула приведения: a * 10r, где 1≤а<10, а r — целое число, обозначающее порядок.

Каноническим правилом является следующее: любое простое число можно представить как произведение его составляющих. Так, 12 можно представить как 6 х 2, в свою очередь, 6 — как 3 х 2. Таким образом, будет верной запись: 12 = 3 х 2 х 2. На этом принципе построено упрощение любого выражения. Простые цифры 3, 2, 2 и являются множителями, на которые раскладывают пример.

Существуют пять способов преобразования многочленов (полиномов):

• вынесение общего коэффициента для каждого члена за скобку;
• трансформация по формулам сокращённого умножения;
• способ группирования;
• нахождение и выделения полного квадрата;
• разложение на простые множители.

Какой способ использовать, зависит от вида многочлена. Универсального метода, подходящего к любому решению, не существует. Поэтому для решения задачи нужно правильно определить, какой метод применять лучше всего, особенно это важно для чайников.

Простое разложение

На уроках математики ученикам предлагают разложить на простые множители числа с помощью столбика (двух колонок). Делается это по следующему алгоритму. Исходное число проверяют на возможность деления без остатка на два. Если делится, то рисуют две колонки, в правую вписывают двойку, а в левую число, получившееся после деления на него исходного. В обратном случае вместо двойки используют цифру три. Далее действия повторяют для числа, находящегося уже в правой колонке. Выполняют деление до тех пор, пока в левой колонке не останется единица. Например, число 1176 можно разложить следующим образом:

1176 | 2 (1176 / 2 = 588).

588 | 2 (588 / 2 = 294).

294 | 2 (294 / 2 = 147).

147 | 2 (147 / 3 = 49).

49 | 2 (49 / 7 = 7).

7 | 2 (7 / 7 = 1).

1176 = 2 * 2 * 2 * 3 * 7 * 7 = 23 * 3 * 72.

Для того чтобы понять алгоритм, лучше рассмотреть ещё несколько интересных примеров:

• 7140 = 2 • 2 • 3 • 5 • 7 • 17 = 2 2 • 3 • 5 • 7 • 17;
• 5544 = 2 • 2 • 2 • 3 • 3 • 7 • 11 = 2 3 • 32 • 7 • 11;
• 4104 = 2 • 2 • 2 • 3 • 3 • 3 • 19 = 2 3 • 33 • 19;
• 546 = 2 • 3 • 7 • 13;
• 510 = 2 • 3 • 5 • 17;
• 495 = 3 • 3 • 5 • 11 = 3 2 • 5 • 11;
• 224 = 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 7 = 2 5 • 7;
• 208 = 2 • 2 • 2 • 2 • 13 = 2 4 • 13;
• 156 = 2 • 2 • 3 • 13 = 2 2 • 3 • 13;
• 126 = 2 • 3 • 3 • 7 = 2 • 3 2 • 7;
• 118 = 2 • 59.

Используя метод, можно представить любое число как произведение простых множителей, но с условием, что изначально оно будет кратным двум или трём. В ином же случае простые множители подобрать не получится, как, например, для числа 247, которое можно заменить произведением чисел 13 и 19.

Вынесение коэффициента

Это довольно простой способ разложения многочлена. Выполняют его с помощью перестановки общего множителя за скобку, в которой остаётся сумма выражения. То есть для этого метода необходимо представить искомое в виде произведения нескольких полиномов.

Чтобы выделить общий множитель, следует выполнить:

• для численного выражения — найти число, на которое можно будет разделить без остатка любой коэффициент одночлена;
• для выражения с неизвестным — определить неопределённое число, повторяющееся в каждом одночлене, и вынести его за скобку в наименьшей степени;
• рассчитать многочлен, стоящий в скобках.

Например, пусть дано выражение: 3у2 — 3y + 6 r*y. Согласно правилу, необходимо найти число, на которое без остатка можно разделить каждый из трёх коэффициентов многочлена. Для рассматриваемого примера это будет цифра 3.

Затем определить буквенный множитель, имеющийся в каждом члене выражения. Найденную цифру и повторяющееся неизвестное с наименьшей степенью записать за скобкой. Теперь нужно каждый одночлен разделить на вынесенное значение, а полученный результат записать в скобках: 3y * (y — 1 + 2r). Для проверки правильности действий нужно просто раскрыть скобки путём умножения каждого члена на вынесенный множитель.

Формулы умножения

Довольно часто для упрощения расчётов используют формулы сокращённого умножения. Всего существует семь выражений, которые необходимо выучить. Найти их можно в таблицах любого учебника по алгебре за седьмой класс. Смысл этих теорем в следующем:

1. Разность двух членов, стоящих во второй степени, прямо пропорциональна произведению разности этих членов на их сумму. Например, 16 2 — 3 2 = (16 — 3) * (16 + 3) = 247 или 9 * h 2 — 4 * e 2 * h 2 = (3 * h — 2 * e * h) * (3 * h — 2 * e * h).
2. Квадрат суммы двух членов можно разложить на квадрат первого элемента и удвоенное произведение его на второй элемент, прибавив квадрат второго члена. Используя это правило, можно быстро находить квадрат числа без использования калькулятора. Например, 114 2 = (100 +14) = 100 2 + 2 * 100 * 14 + 14 2 = 10000 + 2800 + 196 = 12966.
3. Квадрат разности двух членов равняется квадрату первого члена с вычетом из него двойного произведения первого на второй с добавлением квадрата второго члена. В этом правиле используют обыкновенное раскрытие скобок. Например, (6 — 3) 2 = 6 2 — 2 * 6 * 3 + 3 2 = (3 — 6) 2 = 9 .
4. Кубическая сумма двух выражений определяется кубом первого члена с прибавлением к нему утроенного произведения исходного числа в степени два на второй член, плюс увеличенное в три раза произведение исходного числа на квадрат второго с прибавлением этого элемента в третьей степени. Например, (2h+7e) 3 = (2 * h) 3 + 3 * 2 * h 2 * 7* e + 3 * 2h * (7 * e) 2 + (7 * e) 3.
5. Куб разности находится вычитанием из исходного числа утроенного произведения первого члена, возведённого во вторую степень, с прибавлением утроенного произведения исходного члена на второй в степени два минус его куб. Например, (4 * h − 2 * e) 3 = (4 * h) 3 − 3 * (4 * h) 2 * 2 * e + 3 * 4 * h * (2 * e) 2 − (2 * e) 3 .
6. Сумма кубов находится как произведение суммы членов на неполный квадрат разности: (5 * h) 3 + 8 3 = (5 * h + 8) * ((5 * h) 2 − 5 * h * 8 + 8 2). Неполным квадратом называют выражение: (h 2 — h * e + e 2).
7. Разность кубов равна выражению, полученному перемножением разности двух чисел на неполный квадрат суммы: h3− e3 = (h − e) * ((h 2 +h) * (e + e 2)).

Все эти формулы умножения можно использовать также в обратную сторону, то есть собирать многочлен. Например, для решения примеров типа: «квадратный трёхчлен разложен на множители, найдите а». Если понять смысл этих формул, то запомнить их наизусть будет довольно легко.

Метод группировки

Пожалуй, самый распространённый способ разложения на множители. Его удобно применять для упрощения квадратных уравнений без поиска корней. Разложение этим методом выполняют в следующей последовательности действий:

• выбирают повторяющиеся неизвестные и записывают друг за другом одночлены с одинаковыми множителями;
• в каждой группе находят одинаковый множитель и переносят его за скобку;
• находят общий полином и отделяют его скобками.

Выполнять группировку можно по-разному, но в итоге обязательно должен остаться общий многочлен. Например, выражение 48 * h * e 2 + 32 * h * q — 15 * e 2 — 10 * q2 возможно решить двумя способами.

1. Изучив выражение, можно заметить, что во всех членах уравнения повторяются две неизвестные. Выписав их друг за другом, а затем вынеся общий множитель за скобку, можно будет записать: 48 * h * e2 + 15 * e2 + 32 * h * q2 − 1 0 * q2 − 10 * q2 = 3 * e2 (16 * h − 5) + 2 q2 (16 * h — 5) = (16 * h − 5) * (3 * e2 + 2 * q2).
2. Во втором способе можно использовать то, что в первых одночленах повторяется неизвестная h. Вынеся её за скобку, получают следующее упрощение: 48 * r * z2 + 32 * r * y2 − 15 * z2 − 10 * y2 = 16 * h * (3 * e2 + 2 q2) − 5 (3 * e2 + 2 q2) = (3 * e2 + 2 * q2) * (16 * h − 5).

Для того чтобы вынести многочлен за скобку, может понадобиться инвертировать все знаки. Следует помнить, что при выносе минуса у всех одночленов, оставшихся под скобкой, знак изменится на противоположный.

Выделение квадрата

По сути, выделение общего квадрата соответствует преобразованию, при котором трёхчлен представляют в виде (k + e)2 или (k — e)2. Метод используется для решения биквадратных уравнений. Для выделения полного квадрата при разложении многочлена на множители применяют две формулы:

1. k2 + 2 * k * e + e2 = (k + e)2.
2. k2 — 2 * k * e + e2 = (k — e)2.

Например, нужно упростить дробь: (k4 + 4 * e4) / (k4 + 2 * e2 + 2 * k * e). Необходимо разложить числитель, используя формулы для полного квадрата: (k4 + 4 * e4) = (k4 + 4 * e2 * k2 + 4 * e 4). Значит, если отнять от многочлена 4 * k2 * e2, то получится уравнение: (k2 + 2 * e2) * 2 − 4 * k2 * e2. Используя формулу умножения квадратов, верно будет записать: (k2 + 2 e 2 − 2 * k * e) * (k2 + 2 e 2 + 2 * k * e).

Заменив полученным выражением числитель, можно будет его часть взаимно сократить со знаменателем. В итоге получится простое выражение: h2 + 2 * e2 − 2 * h * e.

Неприводимые множители

Решая различные задачи, можно столкнуться со сложными выражениями, которые, как кажется, разложить нельзя. Например, (2 * p2 — 5 * p — 3)/(3 * p — 9). В числителе дроби находится квадратный трёхчлен, который на самом деле можно разложить. Для того чтобы его можно было упростить, используется формула: ar2 + br + p = a (r — r1) * (r — r2), где r1 и r2 корни выражения.

Чтобы найти решения для линейного уравнения, необходимо определить дискриминант. То есть нужно из задачи отделить числитель, найти его решения и подставить найденные значения в формулу разложения.

Для рассматриваемого примера дискриминант квадратного уравнения будет равняться: Д = 25 — 4*2 (-3) = 49. Отсюда p1 = (5 + 7)/4 = 3, p2 = (5 — 7)/4 = -½. Подставив полученные корни в формулу, можно запись: 2 * (p — 3) * (p + ½).

Теперь вместо числителя нужно подставить полученное разложение: (2*p2 — 5*p — 3)/(3*p — 9) = 2*(p — 3) * (p + ½)/3 * (p — 3) = (2 *p + 1)/3.

Использование онлайн-калькуляторов

Порой, для решения сложных заданий нужно затратить много времени. При этом всегда существует риск допустить ошибку при расчётах. Чтобы этого избежать или проверить свой ответ, можно воспользоваться сайтами, предлагающие онлайн-калькуляторы. Использовать их сможет даже пользователь, совершенно не понимающий методов, используемых для упрощения выражений.

Расчёт обычно занимает менее 30 секунд. Приложений для упрощений уравнений достаточно много. Написаны они на Паскале или javascript. Появление ошибки при вычислении невозможно. Нередко на этих сайтах ещё и содержится информация о способах упрощения полиномов.

Для того чтобы получить ответ, необходимо будет с помощью браузера зайти на сайт онлайн-калькулятора и заполнить предлагаемые им поля. После того как упрощаемое выражение будет вписано, следует нажать кнопку «Рассчитать» или «Упростить выражение» и получить ответ с пошаговым решением.