Диофантовы уравнения - методы, алгоритмы и примеры решения
На самом деле примеры диофантовых уравнений можно встретить в повседневной жизни. Например, при покупке чего-либо в магазине. На эту тему математики смогли придумать интересные задачи, обычно предлагающиеся ученикам на дополнительных занятиях.
Вот одна из них, появившаяся из реальной истории. Однажды математик пришёл в магазин приобрести свитер. Его цена составляла 19 рублей. У учёного же были с собой только купюры номиналом три рубля, а у кассира — пятирублёвки. Задача состоит в том, чтобы выяснить, сможет ли состояться сделка. Иными словами, необходимо найти, сколько нужно математику дать купюр, и какое их количество он получит от кассира.
Рассуждать нужно следующим образом. В задачи есть два неизвестных: количество трёхрублёвых и пятирублёвых купюр. Поэтому можно составить уравнение: 3x — 5y = 19. По сути, уравнение с двумя неизвестными может иметь бесчисленное число решений, но не всегда из них может найтись хотя бы одно целое положительное.
Итак, зная, что неизвестные должны быть целыми положительными числами, нужно выразить неизвестное с меньшим коэффициентом через остальные члены. Получится равенство: 3 x = 19 + 5 y. Левую и правую часть можно разделить на три, а после выполнить простейшие преобразования: x = (19 + 5y) / 3 = 6 + y + (1 + 2y) / 3. Учитывая, что неизвестные и свободный член это целые числа, выражение (1 + 2y) / 3 можно заменить буквой r, также являющимся каким-то целым числом.
Тогда уравнение можно переписать как x = 6 + y + t. Отсюда t = (1 + 2y) / 3 или y = t + (t — 1) / 2. Снова можно сделать вывод, что (t — 1) / 2 — какое-то целое число. Если заменить его на t1, выражение примет вид: y = t + t1.
Подставив t = 2t1 + l в равенство можно получить, что x = 8 + 5t1, а y = 1 + 3t1. Таким образом, решением уравнения будут полученные равенства. Исходя из того, что результат должен быть положительным, равенства можно переписать в неравенства вида:8 + 5t1> 0, 1 + 3t1 > 0. Отсюда определить диапазон, ограничивающий t1. Беря во внимание только плюсовую часть диапазона, можно сделать заключение, что возможные варианты решения лежать в пределе от нуля до плюс бесконечности.
Подставляя по очереди числа, можно определить значения x и y. Искомый ряд будет выглядеть следующим образом: {x = 8 + 5t} 1 = 8, 13, 18, 23, …, n; {у = 1 + 3t} 1 = 1, 4, 7, 10,…, m. То есть математик, дав восемь купюр, получит одну на сдачу, а если он отдаст 13 купюр, то продавец должен будет ему выдать четыре пятирублёвки. Этот ряд можно продолжать до бесконечности.
Использование онлайн-калькулятора
Существуют сайты, рассчитывающие линейные уравнения в автоматическом режиме. Они называются математическими онлайн-калькуляторами. Пользователю, желающему воспользоваться их услугами, нужно иметь лишь подключение к интернету и любой веб-браузер.
Свои услуги сервисы предоставляют бесплатно. При этом часто на их страницах содержится краткий теоретический материал, посвящённый решению диофантовых уравнений. Кроме того, пользователю предоставляется возможность ознакомиться с решением типовых примеров.
Из нескольких десятков таких сайтов на русском языке можно отметить следующие:
- HostCiti;
- PocketTeacher;
- Upbyte;
- Planetcalc;
- Math24.
Все приведённые сайты имеют интуитивно понятный интерфейс и бесплатны. После того как пользователь введёт в предложенную форму нужные уравнения и запустит расчётчик, онлайн-сервисы не только выдадут ответ, но и выведут на экран пошаговое решение с объяснениями. Таким образом, эти сервисы помогают не только быстро и верно найти решение, но и дают возможность пользователю понять принципы вычисления, проверить самостоятельно выполненный расчёт.
