Интегралы для чайников - правила, формулы и примеры решений

Основная информация

Нахождение первообразной функции с помощью интегрирования является распространенной операцией. Она является достаточно сложной, поскольку следует знать основные правила и методы интегрирования. С самого начала обучения рассматривается интегрирование для неопределенного интеграла, а затем выполняется переход к более сложным вычислениям.

Матпрофи рекомендуют применять принцип, который имеет название «от простого к сложному». Кроме того, следует также уметь разбивать сложную задачу на множество подзадач. Этот подход объясняется простотой диагностики ошибок. Таблицу первообразных заучивать не рекомендуется, поскольку это время лучше потратить на практику. Она заучится автоматически при решении задач различного типа.

Применение интеграла

Интеграл применяется во многих дисциплинах с физико-математическим уклоном. Однако с самого начала с ним «знакомятся» в математическом анализе. Он обозначается символом «∫». Выражение, которое идет после этого символа, называется подинтегральным. Конец его обозначается таким образом: «dпеременная». Все зависит от того, по какой переменной идет интегрирование. Примером обыкновенного интеграла является следующее выражение: ∫ sinx dx.

Применение интегрирования открывает огромные возможности по нахождению площадей различных фигур, объемов тел вращения, пройденного пути при неравномерном движении и т. д. Интеграл можно представить в виде очень маленьких слагаемых. Он бывает нескольких типов: одинарный, двойной, криволинейный, несобственный и т. д. По типу переменных они классифицируются на неопределенные и определенные.

Операции нахождения первообразной первого и второго типов практически ничем не отличаются. Однако существует очень важное отличие — результат. При нахождении неопределенного интеграла результатом выступает первообразная функция, производная которой равна подинтегральному выражению. Во втором случае выполняется также поиск первообразной, но затем в результат подставляются соответствующие значения. Дальнейшее вычисление осуществляется по формуле Ньютона-Лейбница.

Неопределенным интегралом функции y(x) называется первообразная вида Y(x) + C, производная которой соответствует подинтегральной функции y(x). Это и есть его физический смысл. Следует отметить, что значение C является константой. Математическая запись определения интеграла имеет такой вид: ∫(y(x)) dx = Y(х) + С. Для нахождения первообразной функции нужно пользоваться некоторыми правилами.

Правила нахождения

Для нахождения первообразной функции применяется специальный инструмент — таблица интегралов (рис. 1). Если подинтегральное выражение является простым, то задача решается с помощью таблицы. Однако бывают случаи, когда подинтегральная функция является сложной. Для этого нужно применять правило интегрирования по частям.

Рисунок 1. Таблица интегралов.

Для нахождения табличного простого интеграла нужно воспользоваться специальным алгоритмом. Им следует пользоваться до тех пор, пока не появится опыт. Он состоит из следующих шагов:

1. Упрощение подинтегрального выражения (приведение подобных слагаемых, вынесение общих множителей-констант за знак интеграла).
2. Нахождение первообразной функции по таблице (рис. 1).

Например, нужно найти первообразную функции 5e^x. Для этого следует упростить выражение таким образом: ∫(5e^x) dx = 5∫(e^x) dx. Затем нужно найти значение по таблице: 5∫(e^x) dx = 5e^x + C. Особой сложности нахождения нет. Если выражение представлено сложной функцией, то следует воспользоваться правилом интегрирования по частям.

Пусть некоторые функции вида u = u(x) и v = v(x) имеют производные, которые являются непрерывными. Если рассматривать свойство дифференциалов, то можно вывести следующее соотношение: d(uv) = udv + vdu. Следует проинтегрировать обе части: ∫d(uv) = ∫(udv + vdu). Следовательно, uv = ∫udv + ∫vdu.

Равенство нужно переписать таким образом: ∫udv = uv - ∫vdu. Последнее выражение является формулой интегрирования по частям. С ее помощью можно свести сложный интеграл к простому. Кроме того, она может применяться неограниченное количество раз. Существуют определенные признаки выражений, интегралы которых берутся по частям:

1. Натуральный логарифм и логарифм, умноженный на многочлен с неизвестными.
2. Функция экспоненты и показательная, которые умножены на многочлен с неизвестными.
3. Произведение тригонометрических или обратных (арксинус, арктангенс, арккосинус и арккотангенс) функций на многочлен любой степени.
4. Дроби, числитель и знаменатель которых состоит из переменных.

В некоторых случаях интеграл может не браться. Это объясняется наличием ошибок. Поэтому и важно умение разбивать задачу на подзадачи, чтобы уметь ориентироваться и находить возможные проблемы при решении.

Можно также выполнять замену подинтегрального выражения.

Геометрический смысл

Геометрическим смыслом интеграла является площадь криволинейной фигуры или трапеции (рис. 2). Криволинейной трапецией называется определенный класс плоских фигур, ограниченных графиком функции, осями системы координат и прямыми. Функция должна быть неотрицательной и непрерывной. Прямые имеют графики функций вида x = a и x = b. Они называются ограничениями. Их значения подставляются в определенный интеграл, значение которого можно посчитать по формуле Ньютона-Лейбница.

Чтобы его вычислить, нужно найти его первообразную, а затем подставить начальное и конечное значения. Кроме того, константа при вычислении интеграла этого типа не берется. Формула имеет следующий вид: F(x) = F(b) - F(a). В ней число b — это верхняя граница, а значение а — нижняя.

Рисунок 2. Примеры криволинейных трапеций.

При интегрировании фигура на отрезке [a;b] разбивается на части прямоугольной формы. Длина каждой из них равна ординате через некоторые промежутки, которые очень малы. Во время интегрирования площади таких частей складываются.

Формулу нахождения площади обыкновенной трапеции невозможно применить для криволинейной трапеции. Существует более понятное определение: криволинейная трапеция — геометрическая фигура, у которой некоторые стороны являются кривыми.

Рекомендации математиков

Для вычисления интегралов и решения задач на нахождение площади криволинейной фигуры необходимо применять некоторые методы. Они условно делятся на автоматизированные и ручные. Первые осуществляются с помощью программ. Однако оптимальным инструментом считается решение интегралов онлайн. Необходимо обратить внимание на калькулятор интегралов, который называется Integral calculator. Он поддерживает такие операционные системы: Android, Windows, Mac и Linux.

Integral calculator является мощным инструментом, позволяющий вычислять не только интегралы, но и производные, строить графики функций, искать решения дифференциальных уравнений (I и II порядков) и т. д. Однако программное обеспечение следует только использовать для быстрых вычислений или проверки результатов. Специалисты рекомендуют решать любой тип задач в ручном режиме.

Рекомендуется воспользоваться универсальными алгоритмами, которые позволяют находить площадь криволинейной трапеции, неопределенный и определенные интегралы. Следует помнить один из законов философии о переходе количества в качество. Иными словами, чем больше решено задач, тем больше опыта.

Универсальные алгоритмы

Существует несколько алгоритмов для решения задач с интегральным исчислением. Простым считается алгоритм нахождения первообразной неопределенного интеграла. Он имеет следующий вид:

1. Упрощение выражение, которое находится под знаком интеграла.
2. Вынесение общего множителя за знак интеграла (допускается только для констант).
3. Нахождение первообразной по соответствующей таблице.
4. Запись ответа.
5. Проверка с помощью калькулятора интегралов.

Определенный интеграл находится примерно по такому же алгоритму, что и неопределенный, но существуют некоторые отличия. Для расчета нужно использовать непосредственный алгоритм, который рекомендуют специалисты:

1. Выполнить все пять пунктов алгоритма нахождения неопределенного интеграла.
2. Использовать формулу Ньютона-Лейбница.
3. Необходимо внимательно проверить границы, поскольку вычисления будут неверными.
4. Произвести подстановку.
5. Вычислить значение.
6. Проверить результат с помощью дополнительного программного обеспечения.

Задачи на нахождения площади криволинейной трапеции считаются сложными. В них следует правильно определить ограничения и построить график функции. При интегрировании рекомендуется вычислить неопределенный интеграл, а затем подставить границы в соответствующую формулу. В некоторых случаях фигура может состоять из двух. Следовательно, чтобы найти полную ее площадь, необходимо найти площадь каждой, а затем их сложить. Алгоритм решения имеет такой вид:

1. Внимательно вычитать условие.
2. Построить указанную систему координат (декартовую или параметрическую).
3. Изобразить схематично график функции и ограничивающие прямые.
4. Заштриховать фигуру.
5. Вычислить неопределенный интеграл (константу не писать).
6. Подставить в первообразные значения ограничений.
7. Вычислить выражение.
8. Указать единицы измерения.
9. Проверить на онлайн-калькуляторе.

В случае, когда единицы измерения не заданы, нужно указать условные — кв. ед. или ед^2. В третьем пункте нужно учитывать при схематическом изображении все особенности функции (вершину, точки перегиба и т. д.).

Интегрирование по частям осуществляется по формуле. К нему применим любой алгоритм. Все зависит от того, какой интеграл нужно найти, поскольку сложные интегралы также бывают определенными и неопределенными. Может также встретиться задача на вычисление площади криволинейной фигуры, функция которой является сложной. Значит, можно применить последний алгоритм.

Примеры решения

Существует много задач на нахождение неопределенного интеграла. Все они делятся на простые и сложные. Например, дана подинтегральная функция следующего вида: (х - 5)(х+5) - (x+3)^2. Чтобы найти первообразную, следует воспользоваться таким алгоритмом:

1. Упрощение выражения: (х - 5)(х+5) - (x+3)^2 = x^2 - 25 - x^2 - 6x - 9 = -6x - 34 = -(6x + 34).
2. Проинтегрировать выражение: -∫(6х + 34) dx = -(3x^2 + 34x) + C = C - 3x^2 - 34x.

Следующий пример содержит подинтегральное выражение lnx. Функция является сложной, поскольку нет первообразной в таблице. Для его вычисления необходимо следовать некоторым шагам:

1. Интегрировать нужно по частям: u = ln(x), du = 1 / dx, dv = dx и v = x.
2. Нужно собрать выражение: ∫ln(x) dx = x * ln(x) - ∫dx = x * ln(x) - x + C.

В выражении первообразной значение x должно быть больше нуля. Существуют некоторые выражения, которые при определенных значениях переменных, превращаются в неопределенность. Например, квадратный корень отрицательного числа.

Еще одним типом задачи считается нахождение площади криволинейной фигуры. Например, на рисунке 2 нужно найти площадь фигуры, представленной функцией y = x^2 на интервале [0;2]. Решение задачи осуществляется по следующему алгоритму:

1. Вычисление определенного интеграла: ∫(x^2) dx= x^3 / 3.
2. Необходимо использовать формулу Ньютона-Лейбница: [(2^3) / 3] - [0^3] / 3 = 8/3 (кв. ед.).

Таким образом, для решения интегралов любых типов существуют определенные алгоритмы, позволяющие получить достоверный результат. Кроме того, следует знать основные особенности нахождения первообразных подинтегральных функций.