Интегрирование по частям - методы и формулы вычислений

Общая информация

В математике существуют функции, которые не поддаются интегрированию простыми методами. Некоторые алгоритмы также неприменимы в этом случае. Специалисты рекомендуют освоить нахождение первообразной на простых примерах. Этот принцип называется переходом от простого к сложному. Невозможно, не зная основ, переходить к решению сложных задач.
На начальных этапах обучения следует руководствоваться некоторыми правилами и алгоритмами. Их нужно освоить, и безошибочно решать простые задачи. Кроме того, следует разобраться в основном предназначении интеграла, и понять его геометрический смысл. Очень часто новички пытаются найти первообразную сложной функции. Некоторые пользуются информацией из интернета, которая бывает недостоверной. Но у них ничего не получается. Объяснение такому поражению — неверное обучение и отсутствие опыта.
Использование интеграла
Во многих дисциплинах применяется интеграл. Он обозначается литерой или символом «∫", и считается единицей дифференциального исчисления. Выражение (функция), которое идет после этого знака, называется подынтегральным. Его ограничением является знак дифференциала, т. е. «dx» или «dy». Под дифференциалом стоит переменная, по которой происходит поиск первообразной. Интегралом функции вида z = y (x) называется функция вида Y (x) с учетом константы «С» (Y (x) + C). Необходимо отметить, что Y (x) + C является первообразной функции y (x), которая была получена при дифференцировании.

Интегрирование очень часто применяется для нахождения площадей разнообразных фигур, когда невозможно воспользоваться какой-либо формулой. Например, площадь криволинейной трапеции следует искать толь при помощи операции интегрирования. Кроме того, при помощи данного метода выполняется нахождение объемов тел, пройденного пути при равноускоренном движении и т. д.
Следует отметить, что интегралы бывают двух типов: неопределенные и определенные. Вторые отличаются от первых конечным результатом, который является не первообразной, а некоторым численным значением. Если интеграл определенный, то необходимо воспользоваться формулой Ньютона — Лейбница, подставив в нее некоторые значения или границы. Она имеет такой вид с ограничениями a и b: F (y) = F (b) — F (a). Значение определенного интеграла соответствует разности первообразных, в которые подставляются верхняя и нижняя границы.
Интегралы бывают также собственными и несобственными. К первому типу относятся определенные интегралы, ограничениями которого являются область интегрирования и его подынтегральное выражение. Несобственный — интеграл определенного типа, который ограничен подынтегральным выражением или областью его интегрирования.
Геометрический смысл интеграла — площадь трапеции криволинейного типа. Стороной или сторонами фигуры являются кривые прямые. В этом случае найти площадь не удастся, поскольку формулы для этого не предусмотрены. Криволинейной называется плоская фигура, которая ограничена системой координат, неотрицательной функцией, а также прямыми. Значения ограничений нужно подставлять в формулу Ньютона — Лейбница. Фигура состоит из множества частей прямоугольной формы. При интегрировании их площади складываются, образуя общую площадь S.
Методика нахождения первообразной
Определение первообразной зависит от самой функции. Если она является элементарной, то для этого используется только простейший алгоритм, состоящий из двух шагов. Первым этапом является упрощение выражения, а вторым — определение исходной функции по таблице интегралов.

Некоторые выражения имеют свойство инвариантности, т. е. остаются неизменными при дифференцировании и интегрировании (экспонента в степени, которой является аргумент — e^x). В случае, когда подынтегральное выражение является сложным, то нужно применять специальный метод интегрирования по частям. Методика позволяет находить решения с высокой долей вероятности. Однако бывают функции очень сложные. При этом нужно применять метод замены, а затем правило интегрирования по частям.
Теорема имеет такую формулировку: первообразная сложной функции F (z, y) соответствует произведению ее составных элементов без интеграла, последнего элемента по первому. Следствие из нее — формула, позволяющая искать производную сложной функции. Пусть даны две непрерывные функции z = z (x) и y = y (x), имеющие производные. Соотношение необходимо рассматривать следующим образом: d (zy) = zdy + ydz. Нужно найти первообразные двух частей: ∫d (zy) = ∫(zdy + ydz). Произведение двух функций равно zy = ∫zdy + ∫ydz. Окончательная формула интегрирования по частям имеет такой вид: ∫zdy = zy — ∫ydz.
Формула применяется, когда невозможно найти первообразную какой-либо функции. Примером для интегрирования по частям является y = x * e^(2x). Однако не во всех случаях можно разобраться, когда стоит применять формулу. Ведь при неверном пути решения задания можно потерять много времени. Специалисты классифицировали функции, которые необходимо интегрировать по частям:

- Любой логарифм, умноженный на переменную или многочлен с неизвестным [z = (x 2 — 2x) * ln (x — 2)].
- Произведение переменной (многочлена с неизвестным) на функцию, имеющую экспоненциальный или показательный вид [f = (y — 2)^(3) — e^y].
- Частное (деление) или произведение аргумента на тригонометрическое выражение [y = x * cos (2x 2 )].
- Дробь, в которой числитель и знаменатель состоит из переменных [v = (x 2 — 3x + 7) / x 4 — 5x 3 + 12x + 7)].
Необходимо также отметить, что в первом и во втором видах сложных функций, необязательно должно быть произведение. Оно может рассматриваться в виде дроби, умноженной на выражение.
Например, уравнение с натуральным логарифмом y = ln (x) / (x 2 — 4) можно записать в виде произведения (1 / (x 2 — 4)) * ln (x). Для нахождения первообразной умножения длинного натурального логарифма на переменную также нужно применять этот метод.
В некоторых случаях необходимо осуществлять замену выражения, которое находится под знаком интеграла, а затем, в зависимости от самой замены, находить значение по таблице первообразных или использоваться способ интегрирования по частям. Очень важно правильно определить алгоритм решения, поскольку он избавит от циклического разложения на множители и прочих операций.
Рекомендации специалистов
Для оптимизации нахождения первообразной или ее вычисления необходимо воспользоваться некоторыми советами математиков. Только правильное решение поможет успешно перейти от простых задач к сложным. К ним можно отнести следующие:

- Нет необходимости заучивать таблицу интегралов.
- Разобраться в основных правилах интегрирования на примере элементарных функций.
- Использовать специализированное программное обеспечение только при проверке решения.
- Действовать по алгоритму, который предназначен для решения конкретного типа задач.
- Больше практики.
Следует отметить, что для нахождения первообразной применяется ручной и автоматизированный способы. Первый из них — решение задач самостоятельно, а второй — использование программного обеспечения. Специалисты рекомендуют универсальное онлайн web-приложение. Оно называется INTEGRAL CALCULATOR. Существует и офлайн-версия, которую поддерживают операционные системы Android, Windows, Mac и Linux. Кроме того, есть обыкновенный онлайн-калькулятор интегралов. Его следует использовать, когда нужно вычислять или находить первообразные.
Основное отличие онлайн от офлайн заключается в том, что в первом случае должно быть соединение с интернетом, а во втором — приложение устанавливается на жесткий диск. Оно позволяет находить первообразные, производные и т. д. При ручном методе решения следует руководствоваться подробным универсальным алгоритмом нахождения первообразной сложной функции по частям для неопределенного интеграла:
- Вынести константу за пределы интеграла.
- Выполнить математические преобразования, которые позволяют упростить подынтегральное выражение.
- Обозначить функции для подготовки к применению формулы интегрирования по частям.
- Выполнить интегрирование по формуле.
- Записать результат.
- Проверить с помощью приложения.
- При неверном решении проверить работоспособность программы, используя табличные значения.
- Найти ошибку, и вернуться в тот пункт алгоритма, в котором она допущена. Иногда требуется выполнить решение с самого начала.
На третьем шаге алгоритма необходимо правильно определить параметры, поскольку это может существенно замедлить решение. Следует выбрать выражение, которое будет легко дифференцироваться и интегрироваться по частям. Например, в функции v = (x 2 ) * sin (2x) части следует выбирать таким образом: z = x 2 и y = sin (2x).

К разбиению на части следует подходить с логической стороны. Нужно выписать формулу ∫zdy = zy — ∫ydz. В ней проще всего найти производную функции x 2, а не sin (2x). Для определенного интеграла алгоритм похож на предыдущий, но имеет некоторые отличия:
- Выполнить первые четыре пункта.
- Вычислить значения по формуле Ньютона — Лейбница.
- Осуществить шаги с 5 по 8-й пункт предыдущего алгоритма.
Специалисты рекомендуют выписать эти алгоритмы на отдельный лист, который должен быть постоянно в поле зрения. При регулярных тренировках надобность в «шпаргалке» отпадает. Если интеграл является собственным, то необходимо внимательно следить за решением, поскольку ограничением является также его подынтегральное выражение.
Примером является определенный интеграл с границами от -1 до 5 вида ∫(1/x)dy. В этом случае переменная не должна быть равна 0, поскольку превращает подынтегральную функцию в пустое множество. Для этого следует рассматривать сумму двух интегралов, а x = 0 следует исключить, взяв предел. Первый интеграл имеет такие границы: нижняя — (-1), а верхняя — x стремится к 0 (х->0). Для второго выражения нижней границей является x->0, а верхней — 5.
Примеры решения
Необходимо вычислить интеграл функции v = x * ln (x). Если границы не обозначены, то интеграл является неопределенным. Для этого следует воспользоваться универсальным алгоритмом нахождения первообразной по частям:

- Преобразования не нужно выполнять. Подынтегральное выражение состоит из произведения функций, которые являются табличными.
- Обозначения: z = ln (x), y = x, dz = [ln (x)]' = (1/x)dx, dy = [x]' = dx.
- Подставить в формулу: ∫zdy = zy — ∫ydz = ln (x) * x — ∫(x * (1/x))dx = ln (x) * x — ∫dx = ln (x) * x — x + С= x (ln (x) — 1) + С.
- Если воспользоваться онлайн-калькулятором интегралов, то видно, что решения совпадают. Следовательно, задача решена правильно.
Нужно проинтегрировать функцию u = (x — 9) * e^(3x). Следует обратить внимание на выражение e^(3x), поскольку оно является сложным. Для решения рекомендуется применить также универсальный алгоритм:
- Необходимость в упрощении выражения отсутствует.
- Ввести обозначения: z = x — 9, dy = e^(3x), dz = dx и y = ∫(e^(3x))dx = (1/3) * e^(3x).
- Интегрирование: ∫zdy = zy — ∫ydz = (1/3) * (x — 9) * e^(3x) — (1/3) * ∫(e^(3x))dx =(1/3) * (x — 9) * e^(3x) — (1/3) * (1/3) * e^(3x) + С = [(e^(3x) * (3x — 28)) / 9] + С.
Если проверить результат с помощью INTEGRAL CALCULATOR, то решения совпадут. Очень важно анализировать функции, и следить за знаками. Например, необходимо также учитывать, что e^(-x) является также сложной. Ее первообразная соответствует -e^(-x).
Таким образом, интегрирование по частям следует применять в том случае, когда обыкновенные методы поиска первообразной не дают результата. Метод используется для понижения сложности подынтегрального выражения. Его можно применять неограниченное количество раз для одной функции.
Еще тесты
- Анатомия
- Английский язык
- Астрономия
- Биология
- Литература
- История
- Педсовет
- Естествознание
- Финансы и кредит
- Правоведение
- Товароведение
- Экономика
- Социология
- Маркетинг
- Обществознание
- Культурология
- Математика
- Философия
- Русский язык
- Психология
- Политология
- Делопроизводство
- Бухгалтерия
- ОБЖ
- Орфография
- География
- Биографии
- Физика
- Пунктуация
- Краткие содержания
- Химия
- Менеджмент
- Тест на тему Тест по теме Дыхательная система человека 7 вопросов
- Тест на тему Строение человека - анатомия внутренних органов 7 вопросов
- Тест на тему Гормоны - определение, виды, функции, роль в организме человека 5 вопросов
- Тест на тему Лейкоциты в крови - строение, где образуются и разрушаются, норма содержания 5 вопросов
- Тест на тему Одноклеточные организмы - строение , формы и признаки представителей 8 вопросов
- Тест на тему Бесполое размножение - виды, формы и биологическое значение процесса 9 вопросов
- Тест на тему Синтез АТФ - структура, функции и пути образования аденозинтрифосфорной кислоты 7 вопросов
- Тест на тему Биогеоценоз - определение, структура и свойства 5 вопросов
- Тест на тему Символизм в литературе - основные черты и представители направления 6 вопросов
- Тест на тему "У Лукоморья дуб зеленый" - анализ стихотворения Александра Сергеевича Пушкина 8 вопросов
- Тест на тему Родион Раскольников и Соня Мармеладова - история взаимоотношений в романе Ф. М. Достоевского "Преступление и наказание" 6 вопросов
- Тест на тему Семья Мелеховых в романе М. Шолохова "Тихий дон" 7 вопросов
- Тест на тему Отечественная война 1812 года - причины, основные сражения, итоги 7 вопросов
- Тест на тему Правление Ивана Грозного - внутренняя и внешняя политика 7 вопросов
- Тест на тему Образование СССР - причины, этапы становления, состав, итоги 6 вопросов
- Тест на тему Крещение руси князем Владимиром - причины, история, значение принятия христианства 6 вопросов
- Тест на тему Пищевая цепочка в природе - звенья, схемы и примеры цепей 5 вопросов
- Тест на тему Экологические факторы - классификация, примеры, общие закономерности воздействия 5 вопросов
- Тест на тему Биосфера - определение, состав, свойства, границы 5 вопросов
- Тест на тему Возникновение жизни на земле 6 вопросов
- Тест на тему Права и свободы человека и гражданина 5 вопросов
- Тест на тему Унитарное предприятие - виды, признаки, участники, особенности 7 вопросов
- Тест на тему Формы собственности - типы и виды и их характеристика 7 вопросов
- Тест на тему Предпринимательское право - понятие, принципы, предмет и объект, функции 5 вопросов
- Тест на тему Ликвидность предприятия - определение, виды, формула расчета 7 вопросов
- Тест на тему Процентная ставка - понятие, виды, методы расчета и начисления 5 вопросов
- Тест на тему Финансы - определние, сущность, основные функции, виды 7 вопросов
- Тест на тему Коммерческая деятельность - сущность и содержание 7 вопросов
- Тест на тему Статистическое наблюдение - виды, способы, последовательность этапов 6 вопросов
- Тест на тему Социальный контроль - понятие и функции, формы и методы, значение 5 вопросов
- Тест на тему Анкетирование - правила составления и виды вопросов, оформление результатов 5 вопросов
- Тест на тему Социальная группа — понятие, типы, критерии выделения 8 вопросов
- Тест на тему Деятельность человека - основные виды и характеристики 7 вопросов
- Тест на тему Воздушно-десантные войска (ВДВ) - история создания, подразделения, оснащение 7 вопросов
- Тест на тему Субъекты РФ - количество, виды, правовой статус 7 вопросов
- Тест на тему Социальные нормы - понятие, виды и характеристка, функции, примеры 6 вопросов
- Тест на тему Что такое угол 5 вопросов
- Тест на тему Деление в столбик — подробное описание алгоритма решения задач, примеры 10 вопросов
- Тест на тему Вычитание дробей - правила и примеры с решениями 5 вопросов
- Тест на тему Модуль числа - свойства, действия, как решать уравнения и неравенства с модулем 10 вопросов
- Тест на тему Ислам - история возникновения религии, основные положения 7 вопросов
- Тест на тему Мышление - определение, виды, функции, свойства 5 вопросов
- Тест на тему Что такое мораль, ее категории и функции 6 вопросов
- Тест на тему Буддизм - кратко о религии (история возникновения, основные положения, священные книги) 6 вопросов
- Тест на тему Безличные предложения в русском языке 8 вопросов
- Тест на тему Ударение в словах в русском языке - правила и проверка постановки 5 вопросов
- Тест на тему Морфемный разбор слова - правила выполнения с примерами 5 вопросов
- Тест на тему Сложноподчиненные предложения в русском языке 6 вопросов
- Тест на тему Мотивация - определение, виды и типы в психологии, менеджменте 5 вопросов
- Тест на тему Интеллект - понятие, признаки, как развивать, оценка 5 вопросов
- Тест на тему Социализация личности - понятие и сущность, агенты, примеры 5 вопросов
- Тест на тему Типы темперамента и их психологическая характеристика 5 вопросов
- Тест на тему Органы исполнительной власти РФ - понятие и правовой статус, структура и фунции 7 вопросов
- Тест на тему Европейский союз - история создания, цели, состав 5 вопросов
- Тест на тему Тоталитаризм - определение, характерные черты, плюсы и минусы идеологии 5 вопросов
- Тест на тему Политическая идеология - определение понятия, функции, классификация, особенности 5 вопросов
- Тест на тему Оборотные средства предприятия, их структура, учет и анализ 7 вопросов
- Тест на тему Бюджетная классификация - определение, структура 7 вопросов
- Тест на тему Калькуляция - основные понятия, примеры расчетов себестоимости 7 вопросов
- Тест на тему Бухгалтерский учет материально-производственных запасов на предприятии 8 вопросов
- Тест на тему Пистолет Макарова - шпаргалка по тактико-техническим характеристикам 9 вопросов
- Тест на тему Чрезвычайная ситуация - понятие, типы ЧС, причины возникновения, стадии развития 7 вопросов
- Тест на тему Вооруженные силы Российской Федерации — организационная структура и предназначение 7 вопросов
- Тест на тему ВМФ (Военно-Морской флот) России - структура, история, состав 7 вопросов
- Тест на тему Перу - географическое положение, климат и достопримечательности 9 вопросов
- Тест на тему Климатические пояса Земли - характеристика и особенности 8 вопросов
- Тест на тему Тайга - географическое положение, животный и растительный мир, особенности и характеристика природной зоны 7 вопросов
- Тест на тему Озеро - определение, классификация, признаки 6 вопросов
- Тест на тему Братья Гримм - биография, жизнь и творчество немецких писателей 10 вопросов
- Тест на тему Тамерлан (1336-1405) - биография, жизнь и завоевания великого полководца 10 вопросов
- Тест на тему Максим Горький (1868-1936) - биография, кратко самое важное, интересные факты из жизни писателя 9 вопросов
- Тест на тему Блок Александр Александрович (1880-1921) - биография, жизненный и творческий путь 11 вопросов
- Тест на тему "Ночь перед Рождеством" - краткое содержание повести Н. В. Гоголя 10 вопросов
- Тест на тему "Маленький Мук" - краткое содержание сказки Вильгельма Гауфа 10 вопросов
- Тест на тему "Дворянское гнездо" - краткое содержание романа И.С. Тургенева 8 вопросов
- Тест на тему "Бирюк" - краткое содержание рассказа И.С. Тургенева 10 вопросов
- Тест на тему Серная кислота - химические и физические свойства и реакции 8 вопросов
- Тест на тему Муравьиная кислота - формула, свойства, получение и применение 7 вопросов
- Тест на тему Сложные эфиры - характеристика, классификация и примеры соединений 8 вопросов
- Тест на тему Толуол - формула, свойства и применение химического вещества 8 вопросов
- Тест на тему Оценка персонала - виды, критерии и методы 7 вопросов
- Тест на тему Управление персоналом - задачи, функции, современные подходы 5 вопросов
- Тест на тему Менеджмент предприятий — сущность, виды, задачи и цели 7 вопросов
- Тест на тему Организационная структура предприятия — типы и предназначение 7 вопросов