Натуральный логарифм - определение, свойства и примеры решений

Понятия и термины

Впервые упоминание о логарифмах встречается в античные времена. Толчком, послужившим для выделения понятия в отдельное выражение, стало открытие свойств степеней. Из-за стремительного развития архитектуры и строительства, астрономических исследований в средневековой Европе, Индии и Китае возник спрос на сложные расчёты. Так, вместо умножения при возведении в степень стали использовать логарифмирование — тождественную операцию.

При поиске различных закономерностей для упрощения вычислений было найдено простое действие, помогающее заменить громоздкую степенную запись простым членом. Выражение, используемое для этого, получило название логарифм. Равенство вида n^x = y, в котором икс определяется иррациональным числом, стали обозначать как x = logn y .

В формуле log обозначает степенную функцию, n — основание, y — аргумент. Читается такая запись, как икс, равный логарифму игрек по основанию эн. В 1614 году шотландец Непер предложил таблицу логарифмов тригонометрических функций и описал их свойства. Несмотря на неточности в их вычислении, его расчёты вызвали восторг в математическом мире. Через пять лет английский учитель Спайделл внёс свои корректировки в таблицы и фактически предложил сборник натуральных логарифмов.

До начала XX века общепринятого обозначения выражения не существовало. Пока операция, заменяющая собой возведение в степень, не была подробно описана в книге «Введение в анализ бесконечных» Эйлера, который выделил и разделил все известные выражения логарифмов на три вида:

1. Стандартный. Им назвали выражение числа по основанию.
2. Десятичный. Определяется основанием, равным десяти.
3. Натуральный. Тот, у которого основание определяется иррациональной постоянной, равняющейся трансцендентному числу e (єкспонента).

Использование в основании натурального логарифма математической константы e играет важную роль в математическом анализе. Иррациональное число принимается равным 2,71828. Её функция дифференцируется и интегрируется «в саму себя». Поэтому запись, в основании которой стоит такое число, и назвали натуральным.

Таким образом, логарифм, у которого по основанию находится постоянная e, называют также натуральным. Математически это определение записывают в виде выражения: ln c = loge c.

Функция выражения

Функцией натурального логарифма является график, описывающийся равенством y = ln x. Он представляет собой возрастающую кривую, находящуюся в четвёртом и первом квадранте декартовой системы координат. По своему виду функция обратна экспоненциальному изображению, принадлежащему выражению y = e^x.

Первая производная логарифма равняется отношению единицы к основанию. Например, (log c^x)' = ((1/ln c) * ln x)' = (ln x)' / ln c = 1 / x * ln c. Так как основанием в натуральном выражении является экспонента, то учитывая свойства производной, итоговое равенство будет иметь вид: ln e^x = 1 / x. Значение e определяется пределом, к которому стремится при неограниченном возрастании число m. То есть ограничение можно записать как (1 + 1 / m)^m.

График натурально-логарифмической функции сходен с обычной, но имеет меньшую крутизну. К основным свойствам функции относят:

• неупорядоченный вид;
• действительную область, ограниченную интервалом от нуля до плюс бесконечности;
• множественность значений, относящихся к области от минус до плюс бесконечности;
• переход графика оси игрек в точке A, определяющийся координатами (1; 0);
• возрастание на всём протяжении функции;
• отсутствие точки пересечения с осью ординат;
• вертикальность асимптоты по отношению оси ординат;
• знакопостоянство интервалов для значения ординаты больше нуля, находящегося в области от единицы до плюс бесконечности, и для ординаты в четвёртом квадранте от нуля до единицы.

Формула ∫ ln p dp = p ln p — p + C является интегралом функции натурального логарифма. Выводится она с помощью метода интегрирования по частям: ∫ i dk = i * k — i dk. В заданном интеграле можно выделить функции i и k и отдельно выполнить их интегрирование. Тогда исходное выражение будет разложено на две части. Первая будет иметь вид: i = ln p, di = dp / p, а вторая — dk = dp, k = p. Соответственно, выполняя подстановку, можно записать следующее равенство: p ln p — ∫ dp = p ln p — p + C.

Иными словами, простая интегральная первообразная функция g (p) = f'(p) / f (x) будет иметь вид: ln |f (p)|. Это также следует из цепного правила и факта: d / dp (ln |p|) = 1/p. Последнее выражение можно переписать как ∫ dx / x = ln |x| + C, где свободный член — произвольная константа. В соответствии: ∫ f'(x) / f (x) dx =ln |f (x)| + C.

Свойства логарифма

Натуральное логарифмическое выражение характеризуется основной формулой сложения и вычитания. Согласно ей, функцию вида ln (x * y) справедливо преобразовать в сумму ln x + ln y. Аналогично, если в основании стоит знак деления, то его можно заменить разностью: ln (x/y) = ln x — ln y. Это свойство логарифма используется довольно часто при преобразованиях сложных уравнений.

Кроме этого, можно выделить следующие основные формулы, использующиеся при решениях заданий различной сложности:

1. Логарифм степени. Используя это свойство, показатель степени можно выносить за знак натурального логарифма: ln c iⁿ ​ ​ = n * ln c i.
2. Если в основании натурального выражения стоит степень, то при перемещении её за знак функции в виде десятичной дроби получится тождественное уравнение: ln​ cⁿ ​​​i = ​ 1/ n​​​ ​ * ln c * ​​i. То есть степень можно выносить в виде обратного числа.
3. При нахождении степени в аргументе и основании эти показатели можно перенести за знак натурального логарифма: ln ​c​ⁿ * ​​​​i​^m ​​ =​ (m​/n) ​ * ln c​​i. В случае, если значения показателей одинаковые, то выражение будет иметь вид: ln cⁿ * iⁿ = log c* i.
4. Отношение логарифмов с разным основанием можно переписать как их произведение: ln c i / log c k = ln k * i.
5. Натуральное выражение от иррациональной константы равняется единице, а от единицы — нулю. При этом логарифм по любому основанию от единицы составляет нуль.

Рассматриваемый логарифм можно разложить в степенной ряд. В нём слагаемыми служат действительная функция p © и её производные, делённые на факториал. Это преобразование называют разложение Маклорена. Для натурального выражения оно будет иметь вид: ln (1+c) = c — c² /2 + c³ /3 — …+ (-1)ⁿ⁺¹ * cⁿ / n +…, при условии, что значение икса по модулю меньше единицы.

Для выражения логарифма через комплексные числа следует рассмотреть функцию с переменной p: f (p) = ln p. Переменную можно выразить через модуль q и аргумент u: p = q * e^i*u. Применяя свойство логарифма, исходную формулу можно преобразить до вида: f (p) = ln p = ln (q * e^i*u) = ln q + ln e^i*u .

Учитывая, что аргумент однозначно не определён, то u = u0 + 2 pn, где n — простое целое число, то p = q * e^i*u. Смысл этой записи в том, что натуральное выражение, рассматриваемое как функция, будет неоднозначное.

Примеры типовых заданий

Знание теоретических основ позволяет довольно легко вычислять натуральные выражения практически любой сложности. Самые простые задания даются для закрепления основных формул. Поэтому они обычно состоят из нескольких шагов. Например, нужно вычислить выражение: ln 2 * e² + ln 1/ (2* e). Применяя свойство степеней, заданное выражение можно привести к виду: ln (2 * e ² * 1 / (2 * e). После сокращения числителя и знаменателя на 2 * e, исходное выражение станет равным ln e. Таким образом, ln 2 * e² + ln 1/ (2* e) = ln e = 1.

Вот ещё один простой пример. Пусть нужно решить равенство: logp e = ¼. В первую очередь следует определить допустимые значения. Эта область будет лежать в границах от нуля до бесконечности при p > 0 и от единицы до плюс бесконечности p ≠ 0. Используя свойство замены основания, левую часть логарифма можно преобразовать к виду натурального выражения: 1 / ln p = ½. Это выражение тождественно ln p = 2. Учитывая определение логарифма, ответом на задачу будет: p = e².

Более сложные задания предполагают решение квадратных уравнений. Пусть необходимо решить неравенство: ln2 p — 2 < ln p. Учитывая определение логарифма, область допустимых значений будет находиться при значениях икс больше нуля.

Для упрощения записи вместо ln x можно ввести обозначение k. В итоге получится неравенство: k2 — k — 2 < 0. Фактически это классическое квадратное уравнение. Решать его можно через нахождение детерминанта или по теореме Виета. Принципиальной разницы, что выбрать, нет. В случае нахождения с помощью дискриминанта квадратное уравнение нужно приравнять к нулю: k2 — k — 2 = 0.

Корни равенства находят следующим образом: D = b² — 4 * a* c = (-1)² — 4 * 1 * (-2) = 1 + 8 = 9. Подставив полученное значение в формулу, можно найти действительные корни: k1 = (1 + 3) / 2 = 2, k2 = (1 — 3) / 2 = -1. Затем найденные корни нужно обозначить на графике натурального логарифма. Так как по условию необходимы только те значения, которые лежат в отрицательной части, то нужная область ограничивается интервалом от минус единицы до двойки.

Теперь следует выполнить обратную замену. В итоге можно будет записать: ln p < 2 и ln p > -1. Учитывая, что при основании превышающим единицу знаки остаются без изменения, получают систему:

{p > e-¹;

{p < e².

Следовательно, область решений неравенства будет принадлежать p Є (1/ e; e ²). Следует обратить внимание, что использование замены для упрощения является одним из ключевых моментов в решении логарифмов.

Использование онлайн-калькулятора

При нахождении логарифмов в реальных условиях довольно часто приходится сталкиваться с громоздкими вычислениями. Такие расчёты требуют внимания и скрупулёзности. Ведь даже небольшая ошибка в итоге может привести к неправильному результату. При этом расчёт часто занимает продолжительное время.

В интернете существует несколько десятков сайтов, предоставляющих услуги по расчёту логарифмов онлайн. Это так называемые онлайн-калькуляторы. Доступ к ним может получить любой заинтересованный пользователь. Для этого ему просто понадобиться интернет и браузер с поддержкой Flesh технологи.

На страницах таких сервисов встроена специальная программа на языке Java. Фактически это аналог ранее популярных отдельных приложений, написанных на двоичном коде в Паскале. От пользователя требуется лишь вести в предложенную форму уравнение и нажать кнопку «Рассчитать». Приложение самостоятельно выберет нужные формулы и по ним рассчитает ответ.

Кроме конечного ответа, онлайн-сервисы предлагают подробный пошаговый расчёт. Это очень полезно для учащихся, которые пробуют разобраться в премудростях вычисления логарифма. А также для них на страницах предоставляется теоретический материал с примерами различной сложности. Примечательно и то, что доступ к сайтам обычно не только бесплатный, но и не требует какой-либо регистрации или указания личных данных.

По мнению пользователей рунета, из нескольких десятков существующих сайтов на русском языке можно выделить пятёрку лидеров:

1. Kontrolnaya-rabota.
2. Planetcalc.
3. Allcalc.
4. Nauchniestati.
5. Okcalc.

Эти онлайн-калькуляторы имеют интуитивно понятный интерфейс и всю необходимую теорию для понятия принципа нахождения логарифма. Решив несколько заданий с их помощью, пользователь сможет самостоятельно вычислять любые логарифмические выражения. Таким образом, расчётчики смогут как подтянуть знания, так и проверить полученный ответ. Ведь появление ошибки при использовании программы практически невозможно.