Натуральный логарифм - определение, свойства и примеры решений

Понятия и термины
Впервые упоминание о логарифмах встречается в античные времена. Толчком, послужившим для выделения понятия в отдельное выражение, стало открытие свойств степеней. Из-за стремительного развития архитектуры и строительства, астрономических исследований в средневековой Европе, Индии и Китае возник спрос на сложные расчёты. Так, вместо умножения при возведении в степень стали использовать логарифмирование — тождественную операцию.

При поиске различных закономерностей для упрощения вычислений было найдено простое действие, помогающее заменить громоздкую степенную запись простым членом. Выражение, используемое для этого, получило название логарифм. Равенство вида nx = y, в котором икс определяется иррациональным числом, стали обозначать как x = logn y .
В формуле log обозначает степенную функцию, n — основание, y — аргумент. Читается такая запись, как икс, равный логарифму игрек по основанию эн. В 1614 году шотландец Непер предложил таблицу логарифмов тригонометрических функций и описал их свойства. Несмотря на неточности в их вычислении, его расчёты вызвали восторг в математическом мире. Через пять лет английский учитель Спайделл внёс свои корректировки в таблицы и фактически предложил сборник натуральных логарифмов.
До начала XX века общепринятого обозначения выражения не существовало. Пока операция, заменяющая собой возведение в степень, не была подробно описана в книге «Введение в анализ бесконечных» Эйлера, который выделил и разделил все известные выражения логарифмов на три вида:
- Стандартный. Им назвали выражение числа по основанию.
- Десятичный. Определяется основанием, равным десяти.
- Натуральный. Тот, у которого основание определяется иррациональной постоянной, равняющейся трансцендентному числу e (єкспонента).
Использование в основании натурального логарифма математической константы e играет важную роль в математическом анализе. Иррациональное число принимается равным 2,71828. Её функция дифференцируется и интегрируется «в саму себя». Поэтому запись, в основании которой стоит такое число, и назвали натуральным.
Таким образом, логарифм, у которого по основанию находится постоянная e, называют также натуральным. Математически это определение записывают в виде выражения: ln c = loge c.
Функция выражения
Функцией натурального логарифма является график, описывающийся равенством y = ln x. Он представляет собой возрастающую кривую, находящуюся в четвёртом и первом квадранте декартовой системы координат. По своему виду функция обратна экспоненциальному изображению, принадлежащему выражению y = ex.
Первая производная логарифма равняется отношению единицы к основанию. Например, (log cx)' = ((1/ln c) * ln x)' = (ln x)' / ln c = 1 / x * ln c. Так как основанием в натуральном выражении является экспонента, то учитывая свойства производной, итоговое равенство будет иметь вид: ln ex = 1 / x. Значение e определяется пределом, к которому стремится при неограниченном возрастании число m. То есть ограничение можно записать как (1 + 1 / m)m.

График натурально-логарифмической функции сходен с обычной, но имеет меньшую крутизну. К основным свойствам функции относят:
- неупорядоченный вид;
- действительную область, ограниченную интервалом от нуля до плюс бесконечности;
- множественность значений, относящихся к области от минус до плюс бесконечности;
- переход графика оси игрек в точке A, определяющийся координатами (1; 0);
- возрастание на всём протяжении функции;
- отсутствие точки пересечения с осью ординат;
- вертикальность асимптоты по отношению оси ординат;
- знакопостоянство интервалов для значения ординаты больше нуля, находящегося в области от единицы до плюс бесконечности, и для ординаты в четвёртом квадранте от нуля до единицы.
Формула ∫ ln p dp = p ln p — p + C является интегралом функции натурального логарифма. Выводится она с помощью метода интегрирования по частям: ∫ i dk = i * k — i dk. В заданном интеграле можно выделить функции i и k и отдельно выполнить их интегрирование. Тогда исходное выражение будет разложено на две части. Первая будет иметь вид: i = ln p, di = dp / p, а вторая — dk = dp, k = p. Соответственно, выполняя подстановку, можно записать следующее равенство: p ln p — ∫ dp = p ln p — p + C.
Иными словами, простая интегральная первообразная функция g (p) = f'(p) / f (x) будет иметь вид: ln |f (p)|. Это также следует из цепного правила и факта: d / dp (ln |p|) = 1/p. Последнее выражение можно переписать как ∫ dx / x = ln |x| + C, где свободный член — произвольная константа. В соответствии: ∫ f'(x) / f (x) dx =ln |f (x)| + C.
Свойства логарифма
Натуральное логарифмическое выражение характеризуется основной формулой сложения и вычитания. Согласно ей, функцию вида ln (x * y) справедливо преобразовать в сумму ln x + ln y. Аналогично, если в основании стоит знак деления, то его можно заменить разностью: ln (x/y) = ln x — ln y. Это свойство логарифма используется довольно часто при преобразованиях сложных уравнений.
Кроме этого, можно выделить следующие основные формулы, использующиеся при решениях заданий различной сложности:

- Логарифм степени. Используя это свойство, показатель степени можно выносить за знак натурального логарифма: ln c in = n * ln c i.
- Если в основании натурального выражения стоит степень, то при перемещении её за знак функции в виде десятичной дроби получится тождественное уравнение: ln cn i = 1/ n * ln c * i. То есть степень можно выносить в виде обратного числа.
- При нахождении степени в аргументе и основании эти показатели можно перенести за знак натурального логарифма: ln cn * im = (m/n) * ln ci. В случае, если значения показателей одинаковые, то выражение будет иметь вид: ln cn * in = log c* i.
- Отношение логарифмов с разным основанием можно переписать как их произведение: ln c i / log c k = ln k * i.
- Натуральное выражение от иррациональной константы равняется единице, а от единицы — нулю. При этом логарифм по любому основанию от единицы составляет нуль.
Рассматриваемый логарифм можно разложить в степенной ряд. В нём слагаемыми служат действительная функция p © и её производные, делённые на факториал. Это преобразование называют разложение Маклорена. Для натурального выражения оно будет иметь вид: ln (1+c) = c — c2 /2 + c3 /3 — …+ (-1)n+1 * cn / n +…, при условии, что значение икса по модулю меньше единицы.
Для выражения логарифма через комплексные числа следует рассмотреть функцию с переменной p: f (p) = ln p. Переменную можно выразить через модуль q и аргумент u: p = q * ei*u. Применяя свойство логарифма, исходную формулу можно преобразить до вида: f (p) = ln p = ln (q * ei*u) = ln q + ln ei*u .
Учитывая, что аргумент однозначно не определён, то u = u0 + 2 pn, где n — простое целое число, то p = q * ei*u. Смысл этой записи в том, что натуральное выражение, рассматриваемое как функция, будет неоднозначное.
Примеры типовых заданий

Знание теоретических основ позволяет довольно легко вычислять натуральные выражения практически любой сложности. Самые простые задания даются для закрепления основных формул. Поэтому они обычно состоят из нескольких шагов. Например, нужно вычислить выражение: ln 2 * e2 + ln 1/ (2* e). Применяя свойство степеней, заданное выражение можно привести к виду: ln (2 * e 2 * 1 / (2 * e). После сокращения числителя и знаменателя на 2 * e, исходное выражение станет равным ln e. Таким образом, ln 2 * e2 + ln 1/ (2* e) = ln e = 1.
Вот ещё один простой пример. Пусть нужно решить равенство: logp e = ¼. В первую очередь следует определить допустимые значения. Эта область будет лежать в границах от нуля до бесконечности при p > 0 и от единицы до плюс бесконечности p ≠ 0. Используя свойство замены основания, левую часть логарифма можно преобразовать к виду натурального выражения: 1 / ln p = ½. Это выражение тождественно ln p = 2. Учитывая определение логарифма, ответом на задачу будет: p = e2.
Более сложные задания предполагают решение квадратных уравнений. Пусть необходимо решить неравенство: ln2 p — 2 < ln p. Учитывая определение логарифма, область допустимых значений будет находиться при значениях икс больше нуля.
Для упрощения записи вместо ln x можно ввести обозначение k. В итоге получится неравенство: k2 — k — 2 < 0. Фактически это классическое квадратное уравнение. Решать его можно через нахождение детерминанта или по теореме Виета. Принципиальной разницы, что выбрать, нет. В случае нахождения с помощью дискриминанта квадратное уравнение нужно приравнять к нулю: k2 — k — 2 = 0.

Корни равенства находят следующим образом: D = b2 — 4 * a* c = (-1)2 — 4 * 1 * (-2) = 1 + 8 = 9. Подставив полученное значение в формулу, можно найти действительные корни: k1 = (1 + 3) / 2 = 2, k2 = (1 — 3) / 2 = -1. Затем найденные корни нужно обозначить на графике натурального логарифма. Так как по условию необходимы только те значения, которые лежат в отрицательной части, то нужная область ограничивается интервалом от минус единицы до двойки.
Теперь следует выполнить обратную замену. В итоге можно будет записать: ln p < 2 и ln p > -1. Учитывая, что при основании превышающим единицу знаки остаются без изменения, получают систему:
{p > e-1;
{p < e2.
Следовательно, область решений неравенства будет принадлежать p Є (1/ e; e 2). Следует обратить внимание, что использование замены для упрощения является одним из ключевых моментов в решении логарифмов.
Использование онлайн-калькулятора
При нахождении логарифмов в реальных условиях довольно часто приходится сталкиваться с громоздкими вычислениями. Такие расчёты требуют внимания и скрупулёзности. Ведь даже небольшая ошибка в итоге может привести к неправильному результату. При этом расчёт часто занимает продолжительное время.

В интернете существует несколько десятков сайтов, предоставляющих услуги по расчёту логарифмов онлайн. Это так называемые онлайн-калькуляторы. Доступ к ним может получить любой заинтересованный пользователь. Для этого ему просто понадобиться интернет и браузер с поддержкой Flesh технологи.
На страницах таких сервисов встроена специальная программа на языке Java. Фактически это аналог ранее популярных отдельных приложений, написанных на двоичном коде в Паскале. От пользователя требуется лишь вести в предложенную форму уравнение и нажать кнопку «Рассчитать». Приложение самостоятельно выберет нужные формулы и по ним рассчитает ответ.
Кроме конечного ответа, онлайн-сервисы предлагают подробный пошаговый расчёт. Это очень полезно для учащихся, которые пробуют разобраться в премудростях вычисления логарифма. А также для них на страницах предоставляется теоретический материал с примерами различной сложности. Примечательно и то, что доступ к сайтам обычно не только бесплатный, но и не требует какой-либо регистрации или указания личных данных.
По мнению пользователей рунета, из нескольких десятков существующих сайтов на русском языке можно выделить пятёрку лидеров:

- Kontrolnaya-rabota.
- Planetcalc.
- Allcalc.
- Nauchniestati.
- Okcalc.
Эти онлайн-калькуляторы имеют интуитивно понятный интерфейс и всю необходимую теорию для понятия принципа нахождения логарифма. Решив несколько заданий с их помощью, пользователь сможет самостоятельно вычислять любые логарифмические выражения. Таким образом, расчётчики смогут как подтянуть знания, так и проверить полученный ответ. Ведь появление ошибки при использовании программы практически невозможно.
Еще тесты
- Анатомия
- Английский язык
- Астрономия
- Биология
- Литература
- История
- Педсовет
- Естествознание
- Финансы и кредит
- Правоведение
- Товароведение
- Экономика
- Социология
- Маркетинг
- Обществознание
- Культурология
- Математика
- Философия
- Русский язык
- Психология
- Политология
- Делопроизводство
- Бухгалтерия
- ОБЖ
- Орфография
- География
- Биографии
- Физика
- Пунктуация
- Краткие содержания
- Химия
- Менеджмент
- Тест на тему Тест по теме Дыхательная система человека 7 вопросов
- Тест на тему Строение человека - анатомия внутренних органов 7 вопросов
- Тест на тему Гормоны - определение, виды, функции, роль в организме человека 5 вопросов
- Тест на тему Лейкоциты в крови - строение, где образуются и разрушаются, норма содержания 5 вопросов
- Тест на тему Одноклеточные организмы - строение , формы и признаки представителей 8 вопросов
- Тест на тему Бесполое размножение - виды, формы и биологическое значение процесса 9 вопросов
- Тест на тему Синтез АТФ - структура, функции и пути образования аденозинтрифосфорной кислоты 7 вопросов
- Тест на тему Биогеоценоз - определение, структура и свойства 5 вопросов
- Тест на тему Символизм в литературе - основные черты и представители направления 6 вопросов
- Тест на тему "У Лукоморья дуб зеленый" - анализ стихотворения Александра Сергеевича Пушкина 8 вопросов
- Тест на тему Родион Раскольников и Соня Мармеладова - история взаимоотношений в романе Ф. М. Достоевского "Преступление и наказание" 6 вопросов
- Тест на тему Семья Мелеховых в романе М. Шолохова "Тихий дон" 7 вопросов
- Тест на тему Отечественная война 1812 года - причины, основные сражения, итоги 7 вопросов
- Тест на тему Правление Ивана Грозного - внутренняя и внешняя политика 7 вопросов
- Тест на тему Образование СССР - причины, этапы становления, состав, итоги 6 вопросов
- Тест на тему Крещение руси князем Владимиром - причины, история, значение принятия христианства 6 вопросов
- Тест на тему Пищевая цепочка в природе - звенья, схемы и примеры цепей 5 вопросов
- Тест на тему Экологические факторы - классификация, примеры, общие закономерности воздействия 5 вопросов
- Тест на тему Биосфера - определение, состав, свойства, границы 5 вопросов
- Тест на тему Возникновение жизни на земле 6 вопросов
- Тест на тему Права и свободы человека и гражданина 5 вопросов
- Тест на тему Унитарное предприятие - виды, признаки, участники, особенности 7 вопросов
- Тест на тему Формы собственности - типы и виды и их характеристика 7 вопросов
- Тест на тему Предпринимательское право - понятие, принципы, предмет и объект, функции 5 вопросов
- Тест на тему Ликвидность предприятия - определение, виды, формула расчета 7 вопросов
- Тест на тему Процентная ставка - понятие, виды, методы расчета и начисления 5 вопросов
- Тест на тему Финансы - определние, сущность, основные функции, виды 7 вопросов
- Тест на тему Коммерческая деятельность - сущность и содержание 7 вопросов
- Тест на тему Статистическое наблюдение - виды, способы, последовательность этапов 6 вопросов
- Тест на тему Социальный контроль - понятие и функции, формы и методы, значение 5 вопросов
- Тест на тему Анкетирование - правила составления и виды вопросов, оформление результатов 5 вопросов
- Тест на тему Социальная группа — понятие, типы, критерии выделения 8 вопросов
- Тест на тему Деятельность человека - основные виды и характеристики 7 вопросов
- Тест на тему Воздушно-десантные войска (ВДВ) - история создания, подразделения, оснащение 7 вопросов
- Тест на тему Субъекты РФ - количество, виды, правовой статус 7 вопросов
- Тест на тему Социальные нормы - понятие, виды и характеристка, функции, примеры 6 вопросов
- Тест на тему Что такое угол 5 вопросов
- Тест на тему Деление в столбик — подробное описание алгоритма решения задач, примеры 10 вопросов
- Тест на тему Вычитание дробей - правила и примеры с решениями 5 вопросов
- Тест на тему Модуль числа - свойства, действия, как решать уравнения и неравенства с модулем 10 вопросов
- Тест на тему Ислам - история возникновения религии, основные положения 7 вопросов
- Тест на тему Мышление - определение, виды, функции, свойства 5 вопросов
- Тест на тему Что такое мораль, ее категории и функции 6 вопросов
- Тест на тему Буддизм - кратко о религии (история возникновения, основные положения, священные книги) 6 вопросов
- Тест на тему Безличные предложения в русском языке 8 вопросов
- Тест на тему Ударение в словах в русском языке - правила и проверка постановки 5 вопросов
- Тест на тему Морфемный разбор слова - правила выполнения с примерами 5 вопросов
- Тест на тему Сложноподчиненные предложения в русском языке 6 вопросов
- Тест на тему Мотивация - определение, виды и типы в психологии, менеджменте 5 вопросов
- Тест на тему Интеллект - понятие, признаки, как развивать, оценка 5 вопросов
- Тест на тему Социализация личности - понятие и сущность, агенты, примеры 5 вопросов
- Тест на тему Типы темперамента и их психологическая характеристика 5 вопросов
- Тест на тему Органы исполнительной власти РФ - понятие и правовой статус, структура и фунции 7 вопросов
- Тест на тему Европейский союз - история создания, цели, состав 5 вопросов
- Тест на тему Тоталитаризм - определение, характерные черты, плюсы и минусы идеологии 5 вопросов
- Тест на тему Политическая идеология - определение понятия, функции, классификация, особенности 5 вопросов
- Тест на тему Оборотные средства предприятия, их структура, учет и анализ 7 вопросов
- Тест на тему Бюджетная классификация - определение, структура 7 вопросов
- Тест на тему Калькуляция - основные понятия, примеры расчетов себестоимости 7 вопросов
- Тест на тему Бухгалтерский учет материально-производственных запасов на предприятии 8 вопросов
- Тест на тему Пистолет Макарова - шпаргалка по тактико-техническим характеристикам 9 вопросов
- Тест на тему Чрезвычайная ситуация - понятие, типы ЧС, причины возникновения, стадии развития 7 вопросов
- Тест на тему Вооруженные силы Российской Федерации — организационная структура и предназначение 7 вопросов
- Тест на тему ВМФ (Военно-Морской флот) России - структура, история, состав 7 вопросов
- Тест на тему Перу - географическое положение, климат и достопримечательности 9 вопросов
- Тест на тему Климатические пояса Земли - характеристика и особенности 8 вопросов
- Тест на тему Тайга - географическое положение, животный и растительный мир, особенности и характеристика природной зоны 7 вопросов
- Тест на тему Озеро - определение, классификация, признаки 6 вопросов
- Тест на тему Братья Гримм - биография, жизнь и творчество немецких писателей 10 вопросов
- Тест на тему Тамерлан (1336-1405) - биография, жизнь и завоевания великого полководца 10 вопросов
- Тест на тему Максим Горький (1868-1936) - биография, кратко самое важное, интересные факты из жизни писателя 9 вопросов
- Тест на тему Блок Александр Александрович (1880-1921) - биография, жизненный и творческий путь 11 вопросов
- Тест на тему "Ночь перед Рождеством" - краткое содержание повести Н. В. Гоголя 10 вопросов
- Тест на тему "Маленький Мук" - краткое содержание сказки Вильгельма Гауфа 10 вопросов
- Тест на тему "Дворянское гнездо" - краткое содержание романа И.С. Тургенева 8 вопросов
- Тест на тему "Бирюк" - краткое содержание рассказа И.С. Тургенева 10 вопросов
- Тест на тему Серная кислота - химические и физические свойства и реакции 8 вопросов
- Тест на тему Муравьиная кислота - формула, свойства, получение и применение 7 вопросов
- Тест на тему Сложные эфиры - характеристика, классификация и примеры соединений 8 вопросов
- Тест на тему Толуол - формула, свойства и применение химического вещества 8 вопросов
- Тест на тему Оценка персонала - виды, критерии и методы 7 вопросов
- Тест на тему Управление персоналом - задачи, функции, современные подходы 5 вопросов
- Тест на тему Менеджмент предприятий — сущность, виды, задачи и цели 7 вопросов
- Тест на тему Организационная структура предприятия — типы и предназначение 7 вопросов