Сложение дробей с разными знаменателями - алгоритмы и примеры решения

Общие сведения
Под дробью в математике принято понимать число, включающее в себя одну или несколько равных долей. Фактически это какая-то количественная часть от определённого числового или буквенного выражения. Существует два тип записи дробей: классически вид — a/b и десятичный — 0,345. В обыкновенном виде чёрточка обозначает деление. Число, стоящее над ней или с левой стороны, называется числителем, а внизу или справа от неё знаменателем. Первое является делимым, а второе делителем.
Ещё в Древнем Вавилоне и Греции философы и учёные начали отличать части от целых значений. Надписи дробных выражений встречаются и в папирусах Древнего Египта. Египтяне умели делить и умножать дроби, но складывать их не могли. Вавилоняне использовали шестидесятеричные дроби, у которых в знаменателе могли стоять числа 60, 600, 602 и так далее. Такая запись была частным случаем и не могла описывать выделение других частей.

Поэтому итальянский математик Симон Стевин предложил использовать десятичную запись. То есть изображать дробь так, чтобы в его знаменателе стояла единица с последующими нулями. Своё изображение дробей использовали и в Индии. Их особенностью было расположение знаменателя сверху. Современную же запись предложили арабы, она оказалась настолько удачной, что её используют и до сих пор.
Существует три вида дробей:
- Обыкновенная (правильная). Это выражение, в котором рациональное число записывается как отношение двух чисел. Например, a / c.
- Смешанная. Представляет собой неправильное выражение, которое можно записать в виде целого и правильной дроби. То есть этот тип можно представить как сумму натурального числа с правильной дробью. Например, 5 ¾ = 5 + ¾.
- Десятичная. Имеет такую форму записи, при которой пишется сначала целая часть, а затем, через разделитель, дробная. В качестве разделителя используется точка или запятая. Иначе говоря, десятичная дробь — это выражение со знаменателем равным 10n, где n — натуральное число. Например, 2,43 = 2 + 4/10 + 3/10.
Кроме этого, существует понятие правильной дроби — это выражение, в котором числитель меньше знаменателя, и неправильной — в ней знаменатель меньше числителя или равный ему. При этом любую неправильную дробь можно преобразовать в сумму натурального числа с правильным выражением.
Правило действий
По сути, дробь — это вид записи числа. Причём одно и то же число может быть записано по-разному. Например, четыре можно представить как 4/1, 8/2, 4,0. Основное правило, использующееся при сложении дробей с разными числителями и знаменателями, заключается в том, что, если верхнюю и нижнюю часть умножить или разделить на одно и то же число, количественный результат не изменится. Это легко проверить, выполнив простые алгебраические вычисления.

Пусть имеется дробь 3/6. Для того чтобы переписать выражение в десятичный вид, нужно тройку разделить на шесть. В итоге получится ответ: ноль целых пять десятых. Записать его можно как 0,5. Теперь, чтобы проверить утверждение, нужно умножить числитель и знаменатель на одно и то же число. Пусть это будет двойка. Таким образом, выражение примет вид: 3 * 2 / 6 * 2 = 6/12. После деления шести на двенадцать ответ не изменится. Он будет равен 0,5.
Аналогично можно проверить и операцию деления. При этом если верхнюю и левую часть можно разделить на одно и то же число, то выполнение такого действия называют сокращением. А когда числитель и знаменатель не имеют общего делимого (числа, на которое можно сократить), то дробь называют несократимой.
С дробями можно выполнять любые действия: прибавлять, вычитать, перемножать, делить, возводить в степень, извлекать корень. Для всех этих действий существуют строгие правила. Прибавление и вычитание относят к элементарным операциям. Для выполнения этих действий не нужно знать сложные формулы и теоремы. Следует лишь запомнить простое правило: для того чтобы сложить дроби с разными знаменателями, нужно привести их к общему делителю, а после просто выполнить складывание числителей без изменения нижней дробной части.
Хотя с первого взгляда это правило кажется замысловатым, на самом деле оно очень простое и доступное любому для понимания. Чтобы его усвоить и разобраться, следует знать алгоритм действий и принцип нахождения общего знаменателя. Он основан на главном свойстве дроби.
Алгоритм решения
Решить пример или задачу — найти количественный ответ или привести его к простому виду. Поэтому применяют различные способы преобразования заданной дроби к простой записи. Складывать, впрочем, как и вычитать, две и более дроби между собой можно лишь при условии приведения их к общему знаменателю. Под ним понимают такое число, которое является кратным к любому знаменателю в складываемых выражениях. Чтобы найти наименьшее общее число, нужно подобрать значение, на которое любой из знаменателей будет делиться без остатка.
Вычислить его можно двумя способами: найти наибольший общий делитель или использовать каноническое разложение на простые множители. Например, для цифр 12 и 20 он будет равный 60. Для нахождения методом разложения нужно 12 представить в виде произведения 2*2*3, а 20 как 2*2*5. Затем объединить их без повторения и выполнить действие: 2*2*3*5 = 60.

Другой вариант выполняется методом перебора. Сначала проверяют делимость без остатка 20 на 12. Так как действие невыполнимо, 20 умножают на два и снова проверяют. Действие снова невозможно. Теперь 20 умножают на три. Деление без остатка допустимо, таким образом, искомое число будет равно 20*3 = 60. Какой метод применять, зависит от предпочтения считающего и принципиального значения не имеет.
После того как обоюдный знаменатель определён, нужно это значение разделить на каждый делитель, а полученное число записать как соответствующий дополнительный множитель числителя. Далее, на каждое делимое умножить свой коэффициент и плюсовать полученные результаты.
Таким образом, алгоритм сложения неправильных дробей с разными знаменателями, впрочем, как и правильных, можно представить в следующем виде:

- Посчитать общий знаменатель.
- Найти дополнительные множители для каждого числителя.
- Умножить найденный коэффициент на соответствующий ему числитель.
- Прописать в знаменателе общий множитель, а в числителе сумму произведений, полученных после умножения на делимое.
- Прибавить произведения в числителе.
- Записать полученную дробь и при возможности её упростить.
Этот подход применим к любой дроби, даже содержащей буквенные или неопределённые значения. Следует отметить, что при выполнении действий над смешанными отношениями целые части будут складываться отдельно от дробных членов. Если же после сложения получится неправильная дробь, то нужно выделить целую часть и при необходимости прибавить её к имеющейся. Тогда решение будет считаться правильным.
Примеры заданий

Понять принцип сложения дробей, проще всего выполнив несколько практических заданий. Начинать нужно с простых, постепенно переходя к более сложным.
Например, нужно сложить два выражения 2/3 и 4/5. Это простое задание, обычно предлагающееся на школьных уроках. Для того чтобы его выполнить, необходимо воспользоваться алгоритмом решения. Первое что нужно, это найти общий множитель. Пять на три без остатка не делится, десять тоже, а вот число 15 подойдёт. Теперь нужно вычислить дополнительный коэффициент. Для этого первый и второй знаменатели делят на 15. Таким образом, получится: 2 / 3 + 4 / 5 = (2 * 5 + 4 * 3) / 15 = (10 + 12) / 15 = 22/15. В ответе получилась неправильная дробь, поэтому её нужно переписать, выделив целую часть. В итоге решением будет: 2 / 3 + 4 / 5 = 1 7/15.
Более сложные задания обычно включают в себя несколько членов, при этом выражения в них могут быть любыми. Пусть нужно найти решение математической задачи следующего вида: 5/12 — 7/18 + 2/36 + 3 5/6 + 7/4. В этом примере содержится неправильная дробь и смешанная. Согласно правилу, неправильное выражение нужно привести к нормальному виду: 7/4 = (1 * 4 +3) / 4 = 1 * 4 / 4 + (3 / 4) = 1 + ¾ = 1 ¾.
Подставив найденное выражение вместо неправильной дроби, пример примет вид: 5/12 — 7/18 + 2/36 + 3 5/6 + 1 ¾. Самым большим числом в знаменателе является тридцать шесть, оно же будет и общим знаменателем. Каждый знаменатель нужно разделить на 36. Полученное число добавить как коэффициент в числитель, а целые части сложить отдельно: 1 (5 * 3 — 7 * 2 + 5 * 6 + 9 * 3) / 36 = 1 (15 — 14 + 30 + 27) / 36 = 1 (58 / 36). Для того чтобы правильно записать ответ, полученное значение нужно преобразовать в смешанное выражение: 1 (58 / 36) = (1 * 36 + 58) / 36 = 94 / 26 = (94 / 2) / (36 / 2) = 47 / 18 = 2 11/18.
То есть при решении обычным способом важно привести дроби к упрощённому виду, найти общий знаменатель и при необходимости преобразовать выражение к смешанной дроби.
Использование онлайн-калькулятора

В реальных расчётах довольно часто приходится сталкиваться с формулами, содержащими большое количество членов. Чтобы самостоятельно в таких случаях найти общий знаменатель при сложении дробей, понадобится затратить много времени. При этом и в самих расчётах легко можно допустить ошибку. Поэтому совсем не зазорно будет воспользоваться специальными онлайн-калькуляторами.
Это обыкновенные сайты, на страницах которых находятся формы для расчёта выражений любой сложности. Всё что требуется от пользователя — вести исходные данные и нажать кнопку «Рассчитать». Система буквально за несколько секунд автоматически выполнит вычисления, за правильность которых можно не переживать. Что примечательно, кроме итогового результата, пользователю будет доступна вся цепочка решения. Это даёт возможность, даже не зная правил, наглядно увидеть, как нужно находить сумму дробей.
Из всего множества сайтов можно выделить следующие три:

- Planetcalc. Калькулятор выполняет различные математические действия с любыми дробями: сложение, вычитание, умножение, деление, упрощение. Чтобы онлайн-калькулятор правильно распознал сложные выражения, их части нужно включать в скобки. Количество членов можно добавлять до бесконечности. С ключевыми моментами расчёта можно ознакомиться ниже строчки с ответом.
- Onlinemschool. Используя этот онлайн-калькулятор, пользователь без труда сможет сложить, вычесть, умножить, разделить или возвести в степень любые дроби.
- Справочный портал «Калькулятор». Это своего рода комбайн, позволяющий не только быстро выполнить любые действия над дробями, но и предоставляющий детальное объяснение решения.
Воспользовавшись любым из этих онлайн-калькуляторов, не придётся скрупулёзно и монотонно искать ответ на поставленную задачу. Она будет решаться автоматически. Всё что будет нужно, так это переписать ответ и при желании изучить алгоритм вычисления.
Еще тесты
- Анатомия
- Английский язык
- Астрономия
- Биология
- Литература
- История
- Педсовет
- Естествознание
- Финансы и кредит
- Правоведение
- Товароведение
- Экономика
- Социология
- Маркетинг
- Обществознание
- Культурология
- Математика
- Философия
- Русский язык
- Психология
- Политология
- Делопроизводство
- Бухгалтерия
- ОБЖ
- Орфография
- География
- Биографии
- Физика
- Пунктуация
- Краткие содержания
- Химия
- Менеджмент
- Тест на тему Тест по теме Дыхательная система человека 7 вопросов
- Тест на тему Строение человека - анатомия внутренних органов 7 вопросов
- Тест на тему Гормоны - определение, виды, функции, роль в организме человека 5 вопросов
- Тест на тему Лейкоциты в крови - строение, где образуются и разрушаются, норма содержания 5 вопросов
- Тест на тему Одноклеточные организмы - строение , формы и признаки представителей 8 вопросов
- Тест на тему Бесполое размножение - виды, формы и биологическое значение процесса 9 вопросов
- Тест на тему Синтез АТФ - структура, функции и пути образования аденозинтрифосфорной кислоты 7 вопросов
- Тест на тему Биогеоценоз - определение, структура и свойства 5 вопросов
- Тест на тему Символизм в литературе - основные черты и представители направления 6 вопросов
- Тест на тему "У Лукоморья дуб зеленый" - анализ стихотворения Александра Сергеевича Пушкина 8 вопросов
- Тест на тему Родион Раскольников и Соня Мармеладова - история взаимоотношений в романе Ф. М. Достоевского "Преступление и наказание" 6 вопросов
- Тест на тему Семья Мелеховых в романе М. Шолохова "Тихий дон" 7 вопросов
- Тест на тему Отечественная война 1812 года - причины, основные сражения, итоги 7 вопросов
- Тест на тему Правление Ивана Грозного - внутренняя и внешняя политика 7 вопросов
- Тест на тему Образование СССР - причины, этапы становления, состав, итоги 6 вопросов
- Тест на тему Крещение руси князем Владимиром - причины, история, значение принятия христианства 6 вопросов
- Тест на тему Пищевая цепочка в природе - звенья, схемы и примеры цепей 5 вопросов
- Тест на тему Экологические факторы - классификация, примеры, общие закономерности воздействия 5 вопросов
- Тест на тему Биосфера - определение, состав, свойства, границы 5 вопросов
- Тест на тему Возникновение жизни на земле 6 вопросов
- Тест на тему Права и свободы человека и гражданина 5 вопросов
- Тест на тему Унитарное предприятие - виды, признаки, участники, особенности 7 вопросов
- Тест на тему Формы собственности - типы и виды и их характеристика 7 вопросов
- Тест на тему Предпринимательское право - понятие, принципы, предмет и объект, функции 5 вопросов
- Тест на тему Ликвидность предприятия - определение, виды, формула расчета 7 вопросов
- Тест на тему Процентная ставка - понятие, виды, методы расчета и начисления 5 вопросов
- Тест на тему Финансы - определние, сущность, основные функции, виды 7 вопросов
- Тест на тему Коммерческая деятельность - сущность и содержание 7 вопросов
- Тест на тему Статистическое наблюдение - виды, способы, последовательность этапов 6 вопросов
- Тест на тему Социальный контроль - понятие и функции, формы и методы, значение 5 вопросов
- Тест на тему Анкетирование - правила составления и виды вопросов, оформление результатов 5 вопросов
- Тест на тему Социальная группа — понятие, типы, критерии выделения 8 вопросов
- Тест на тему Деятельность человека - основные виды и характеристики 7 вопросов
- Тест на тему Воздушно-десантные войска (ВДВ) - история создания, подразделения, оснащение 7 вопросов
- Тест на тему Субъекты РФ - количество, виды, правовой статус 7 вопросов
- Тест на тему Социальные нормы - понятие, виды и характеристка, функции, примеры 6 вопросов
- Тест на тему Что такое угол 5 вопросов
- Тест на тему Деление в столбик — подробное описание алгоритма решения задач, примеры 10 вопросов
- Тест на тему Вычитание дробей - правила и примеры с решениями 5 вопросов
- Тест на тему Модуль числа - свойства, действия, как решать уравнения и неравенства с модулем 10 вопросов
- Тест на тему Ислам - история возникновения религии, основные положения 7 вопросов
- Тест на тему Мышление - определение, виды, функции, свойства 5 вопросов
- Тест на тему Что такое мораль, ее категории и функции 6 вопросов
- Тест на тему Буддизм - кратко о религии (история возникновения, основные положения, священные книги) 6 вопросов
- Тест на тему Безличные предложения в русском языке 8 вопросов
- Тест на тему Ударение в словах в русском языке - правила и проверка постановки 5 вопросов
- Тест на тему Морфемный разбор слова - правила выполнения с примерами 5 вопросов
- Тест на тему Сложноподчиненные предложения в русском языке 6 вопросов
- Тест на тему Мотивация - определение, виды и типы в психологии, менеджменте 5 вопросов
- Тест на тему Интеллект - понятие, признаки, как развивать, оценка 5 вопросов
- Тест на тему Социализация личности - понятие и сущность, агенты, примеры 5 вопросов
- Тест на тему Типы темперамента и их психологическая характеристика 5 вопросов
- Тест на тему Органы исполнительной власти РФ - понятие и правовой статус, структура и фунции 7 вопросов
- Тест на тему Европейский союз - история создания, цели, состав 5 вопросов
- Тест на тему Тоталитаризм - определение, характерные черты, плюсы и минусы идеологии 5 вопросов
- Тест на тему Политическая идеология - определение понятия, функции, классификация, особенности 5 вопросов
- Тест на тему Оборотные средства предприятия, их структура, учет и анализ 7 вопросов
- Тест на тему Бюджетная классификация - определение, структура 7 вопросов
- Тест на тему Калькуляция - основные понятия, примеры расчетов себестоимости 7 вопросов
- Тест на тему Бухгалтерский учет материально-производственных запасов на предприятии 8 вопросов
- Тест на тему Пистолет Макарова - шпаргалка по тактико-техническим характеристикам 9 вопросов
- Тест на тему Чрезвычайная ситуация - понятие, типы ЧС, причины возникновения, стадии развития 7 вопросов
- Тест на тему Вооруженные силы Российской Федерации — организационная структура и предназначение 7 вопросов
- Тест на тему ВМФ (Военно-Морской флот) России - структура, история, состав 7 вопросов
- Тест на тему Перу - географическое положение, климат и достопримечательности 9 вопросов
- Тест на тему Климатические пояса Земли - характеристика и особенности 8 вопросов
- Тест на тему Тайга - географическое положение, животный и растительный мир, особенности и характеристика природной зоны 7 вопросов
- Тест на тему Озеро - определение, классификация, признаки 6 вопросов
- Тест на тему Братья Гримм - биография, жизнь и творчество немецких писателей 10 вопросов
- Тест на тему Тамерлан (1336-1405) - биография, жизнь и завоевания великого полководца 10 вопросов
- Тест на тему Максим Горький (1868-1936) - биография, кратко самое важное, интересные факты из жизни писателя 9 вопросов
- Тест на тему Блок Александр Александрович (1880-1921) - биография, жизненный и творческий путь 11 вопросов
- Тест на тему "Ночь перед Рождеством" - краткое содержание повести Н. В. Гоголя 10 вопросов
- Тест на тему "Маленький Мук" - краткое содержание сказки Вильгельма Гауфа 10 вопросов
- Тест на тему "Дворянское гнездо" - краткое содержание романа И.С. Тургенева 8 вопросов
- Тест на тему "Бирюк" - краткое содержание рассказа И.С. Тургенева 10 вопросов
- Тест на тему Серная кислота - химические и физические свойства и реакции 8 вопросов
- Тест на тему Муравьиная кислота - формула, свойства, получение и применение 7 вопросов
- Тест на тему Сложные эфиры - характеристика, классификация и примеры соединений 8 вопросов
- Тест на тему Толуол - формула, свойства и применение химического вещества 8 вопросов
- Тест на тему Оценка персонала - виды, критерии и методы 7 вопросов
- Тест на тему Управление персоналом - задачи, функции, современные подходы 5 вопросов
- Тест на тему Менеджмент предприятий — сущность, виды, задачи и цели 7 вопросов
- Тест на тему Организационная структура предприятия — типы и предназначение 7 вопросов