Сложение дробей с разными знаменателями - алгоритмы и примеры решения

Общие сведения

Под дробью в математике принято понимать число, включающее в себя одну или несколько равных долей. Фактически это какая-то количественная часть от определённого числового или буквенного выражения. Существует два тип записи дробей: классически вид — a/b и десятичный — 0,345. В обыкновенном виде чёрточка обозначает деление. Число, стоящее над ней или с левой стороны, называется числителем, а внизу или справа от неё знаменателем. Первое является делимым, а второе делителем.

Ещё в Древнем Вавилоне и Греции философы и учёные начали отличать части от целых значений. Надписи дробных выражений встречаются и в папирусах Древнего Египта. Египтяне умели делить и умножать дроби, но складывать их не могли. Вавилоняне использовали шестидесятеричные дроби, у которых в знаменателе могли стоять числа 60, 600, 602 и так далее. Такая запись была частным случаем и не могла описывать выделение других частей.

Поэтому итальянский математик Симон Стевин предложил использовать десятичную запись. То есть изображать дробь так, чтобы в его знаменателе стояла единица с последующими нулями. Своё изображение дробей использовали и в Индии. Их особенностью было расположение знаменателя сверху. Современную же запись предложили арабы, она оказалась настолько удачной, что её используют и до сих пор.

Существует три вида дробей:

1. Обыкновенная (правильная). Это выражение, в котором рациональное число записывается как отношение двух чисел. Например, a / c.
2. Смешанная. Представляет собой неправильное выражение, которое можно записать в виде целого и правильной дроби. То есть этот тип можно представить как сумму натурального числа с правильной дробью. Например, 5 ¾ = 5 + ¾.
3. Десятичная. Имеет такую форму записи, при которой пишется сначала целая часть, а затем, через разделитель, дробная. В качестве разделителя используется точка или запятая. Иначе говоря, десятичная дробь — это выражение со знаменателем равным 10ⁿ, где n — натуральное число. Например, 2,43 = 2 + 4/10 + 3/10.

Кроме этого, существует понятие правильной дроби — это выражение, в котором числитель меньше знаменателя, и неправильной — в ней знаменатель меньше числителя или равный ему. При этом любую неправильную дробь можно преобразовать в сумму натурального числа с правильным выражением.

Правило действий

По сути, дробь — это вид записи числа. Причём одно и то же число может быть записано по-разному. Например, четыре можно представить как 4/1, 8/2, 4,0. Основное правило, использующееся при сложении дробей с разными числителями и знаменателями, заключается в том, что, если верхнюю и нижнюю часть умножить или разделить на одно и то же число, количественный результат не изменится. Это легко проверить, выполнив простые алгебраические вычисления.

Пусть имеется дробь 3/6. Для того чтобы переписать выражение в десятичный вид, нужно тройку разделить на шесть. В итоге получится ответ: ноль целых пять десятых. Записать его можно как 0,5. Теперь, чтобы проверить утверждение, нужно умножить числитель и знаменатель на одно и то же число. Пусть это будет двойка. Таким образом, выражение примет вид: 3 * 2 / 6 * 2 = 6/12. После деления шести на двенадцать ответ не изменится. Он будет равен 0,5.

Аналогично можно проверить и операцию деления. При этом если верхнюю и левую часть можно разделить на одно и то же число, то выполнение такого действия называют сокращением. А когда числитель и знаменатель не имеют общего делимого (числа, на которое можно сократить), то дробь называют несократимой.

С дробями можно выполнять любые действия: прибавлять, вычитать, перемножать, делить, возводить в степень, извлекать корень. Для всех этих действий существуют строгие правила. Прибавление и вычитание относят к элементарным операциям. Для выполнения этих действий не нужно знать сложные формулы и теоремы. Следует лишь запомнить простое правило: для того чтобы сложить дроби с разными знаменателями, нужно привести их к общему делителю, а после просто выполнить складывание числителей без изменения нижней дробной части.

Хотя с первого взгляда это правило кажется замысловатым, на самом деле оно очень простое и доступное любому для понимания. Чтобы его усвоить и разобраться, следует знать алгоритм действий и принцип нахождения общего знаменателя. Он основан на главном свойстве дроби.

Алгоритм решения

Решить пример или задачу — найти количественный ответ или привести его к простому виду. Поэтому применяют различные способы преобразования заданной дроби к простой записи. Складывать, впрочем, как и вычитать, две и более дроби между собой можно лишь при условии приведения их к общему знаменателю. Под ним понимают такое число, которое является кратным к любому знаменателю в складываемых выражениях. Чтобы найти наименьшее общее число, нужно подобрать значение, на которое любой из знаменателей будет делиться без остатка.

Вычислить его можно двумя способами: найти наибольший общий делитель или использовать каноническое разложение на простые множители. Например, для цифр 12 и 20 он будет равный 60. Для нахождения методом разложения нужно 12 представить в виде произведения 2*2*3, а 20 как 2*2*5. Затем объединить их без повторения и выполнить действие: 2*2*3*5 = 60.

Другой вариант выполняется методом перебора. Сначала проверяют делимость без остатка 20 на 12. Так как действие невыполнимо, 20 умножают на два и снова проверяют. Действие снова невозможно. Теперь 20 умножают на три. Деление без остатка допустимо, таким образом, искомое число будет равно 20*3 = 60. Какой метод применять, зависит от предпочтения считающего и принципиального значения не имеет.

После того как обоюдный знаменатель определён, нужно это значение разделить на каждый делитель, а полученное число записать как соответствующий дополнительный множитель числителя. Далее, на каждое делимое умножить свой коэффициент и плюсовать полученные результаты.

Таким образом, алгоритм сложения неправильных дробей с разными знаменателями, впрочем, как и правильных, можно представить в следующем виде:

1. Посчитать общий знаменатель.
2. Найти дополнительные множители для каждого числителя.
3. Умножить найденный коэффициент на соответствующий ему числитель.
4. Прописать в знаменателе общий множитель, а в числителе сумму произведений, полученных после умножения на делимое.
5. Прибавить произведения в числителе.
6. Записать полученную дробь и при возможности её упростить.

Этот подход применим к любой дроби, даже содержащей буквенные или неопределённые значения. Следует отметить, что при выполнении действий над смешанными отношениями целые части будут складываться отдельно от дробных членов. Если же после сложения получится неправильная дробь, то нужно выделить целую часть и при необходимости прибавить её к имеющейся. Тогда решение будет считаться правильным.

Примеры заданий

Понять принцип сложения дробей, проще всего выполнив несколько практических заданий. Начинать нужно с простых, постепенно переходя к более сложным.

Например, нужно сложить два выражения 2/3 и 4/5. Это простое задание, обычно предлагающееся на школьных уроках. Для того чтобы его выполнить, необходимо воспользоваться алгоритмом решения. Первое что нужно, это найти общий множитель. Пять на три без остатка не делится, десять тоже, а вот число 15 подойдёт. Теперь нужно вычислить дополнительный коэффициент. Для этого первый и второй знаменатели делят на 15. Таким образом, получится: 2 / 3 + 4 / 5 = (2 * 5 + 4 * 3) / 15 = (10 + 12) / 15 = 22/15. В ответе получилась неправильная дробь, поэтому её нужно переписать, выделив целую часть. В итоге решением будет: 2 / 3 + 4 / 5 = 1 7/15.

Более сложные задания обычно включают в себя несколько членов, при этом выражения в них могут быть любыми. Пусть нужно найти решение математической задачи следующего вида: 5/12 — 7/18 + 2/36 + 3 5/6 + 7/4. В этом примере содержится неправильная дробь и смешанная. Согласно правилу, неправильное выражение нужно привести к нормальному виду: 7/4 = (1 * 4 +3) / 4 = 1 * 4 / 4 + (3 / 4) = 1 + ¾ = 1 ¾.

Подставив найденное выражение вместо неправильной дроби, пример примет вид: 5/12 — 7/18 + 2/36 + 3 5/6 + 1 ¾. Самым большим числом в знаменателе является тридцать шесть, оно же будет и общим знаменателем. Каждый знаменатель нужно разделить на 36. Полученное число добавить как коэффициент в числитель, а целые части сложить отдельно: 1 (5 * 3 — 7 * 2 + 5 * 6 + 9 * 3) / 36 = 1 (15 — 14 + 30 + 27) / 36 = 1 (58 / 36). Для того чтобы правильно записать ответ, полученное значение нужно преобразовать в смешанное выражение: 1 (58 / 36) = (1 * 36 + 58) / 36 = 94 / 26 = (94 / 2) / (36 / 2) = 47 / 18 = 2 11/18.

То есть при решении обычным способом важно привести дроби к упрощённому виду, найти общий знаменатель и при необходимости преобразовать выражение к смешанной дроби.

Использование онлайн-калькулятора

В реальных расчётах довольно часто приходится сталкиваться с формулами, содержащими большое количество членов. Чтобы самостоятельно в таких случаях найти общий знаменатель при сложении дробей, понадобится затратить много времени. При этом и в самих расчётах легко можно допустить ошибку. Поэтому совсем не зазорно будет воспользоваться специальными онлайн-калькуляторами.

Это обыкновенные сайты, на страницах которых находятся формы для расчёта выражений любой сложности. Всё что требуется от пользователя — вести исходные данные и нажать кнопку «Рассчитать». Система буквально за несколько секунд автоматически выполнит вычисления, за правильность которых можно не переживать. Что примечательно, кроме итогового результата, пользователю будет доступна вся цепочка решения. Это даёт возможность, даже не зная правил, наглядно увидеть, как нужно находить сумму дробей.

Из всего множества сайтов можно выделить следующие три:

1. Planetcalc. Калькулятор выполняет различные математические действия с любыми дробями: сложение, вычитание, умножение, деление, упрощение. Чтобы онлайн-калькулятор правильно распознал сложные выражения, их части нужно включать в скобки. Количество членов можно добавлять до бесконечности. С ключевыми моментами расчёта можно ознакомиться ниже строчки с ответом.
2. Onlinemschool. Используя этот онлайн-калькулятор, пользователь без труда сможет сложить, вычесть, умножить, разделить или возвести в степень любые дроби.
3. Справочный портал «Калькулятор». Это своего рода комбайн, позволяющий не только быстро выполнить любые действия над дробями, но и предоставляющий детальное объяснение решения.

Воспользовавшись любым из этих онлайн-калькуляторов, не придётся скрупулёзно и монотонно искать ответ на поставленную задачу. Она будет решаться автоматически. Всё что будет нужно, так это переписать ответ и при желании изучить алгоритм вычисления.