Многочисленные учебники «Cопромат для чайников» создают для развенчания мифа о непостижимой сложности дисциплины. Этой наукой пугают на первых курсах вузов. Для начала расшифруем грозный термин «сопротивление материалов».

На деле – проста и решение почти не выходит за рамки школьной задачи о растяжении и сжатии пружины. Другое дело – найти слабое звено конструкции и свести расчет к несложной постановке. Так что не стоит зевать на лекциях по основам механики. При подготовке к урокам можно пользоваться решениями онлайн, но на экзаменах помогут только свои знания.

Что такое сопромат

Это методика расчета деталей, конструкций на способность выдерживать нагрузки в требуемой степени. Или хотя бы для предсказания последствий. Не более, хотя почему-то относят руководство к наукам.

Сопромат

Этой «наукой» прекрасно владели древнегреческие и древнеримские инженеры, сооружавшие сложнейшие механизмы. Понятия не имея о структуре, уравнении состояния вещества и прочих теориях, египтяне строили исполинские плотины и пирамиды.


Основные задачи по сопротивлению материалов

6007091

Задача следует напрямую из определения. А вот каковы критерии упомянутого слова «выдерживать»? Неясно, что скрывается под «материалом» и как реальные вещи схематизировать.

Требования

091

Перечислены далеко не все, но для статики и базовой программы хватит:

  1. Прочность – способность образца воспринимать внешние силы без разрушения. Слегка мнущаяся под весом оборудования подставка никого не интересует. Основную-то функцию она выполняет.

  2. Жесткость – свойство воспринимать нагрузку без существенного нарушения геометрии. Гнущийся под силой резания инструмент даст дополнительную погрешность обработки. К ошибке приведет деформация станины агрегата.

  3. Устойчивость – способность конструкции сохранять стабильность равновесия. Поясним на примере: стержень находится под грузом, будучи прямым – выдерживает, а чуть изогнется – характер напряжения изменится, груз рухнет.

Материал и силы

Допущения в сопромате

Как всякая методика, сопромат принимает массу упрощений и прямо неверных допущений:

  • материал однороден, среда сплошная. Внутренние особенности в расчет не берутся;

  • свойства не зависят от направления;

  • образец восстанавливает начальные параметры при снятии нагрузки;

  • поперечные сечения не меняются при деформации;

  • в удаленных от места нагрузки местах усилие распределяется равно по сечению;

  • результат воздействия нагрузок равен сумме последствий от каждой;

  • деформации не влияют на точки приложения сил;

  • отсутствуют изначальные внутренние напряжения.

Схемы

Служат для создания возможности расчета реальных конструкций:

  • тело – объект с практически одинаковыми «длина х ширина х высота»;

  • брус (балка, стержень, вал) – характеризуется значительной длиной.

На рисунке показаны опоры с воспринимаемыми реакциями (обозначены красным цветом):

120

Рис. 1. Опоры с воспринимаемыми реакциями:

а) шарнирно-подвижная;

б) шарнирно-неподвижная;

в) жесткая заделка (защемление).

Силы в сопромате

Приложенные извне, уравновешиваются возникающими изнутри. Напомним, рассматривается статическая ситуация. Материал «сопротивляется».

Разделим нагруженное тело виртуальным сечением P (см. рис. 2).

121

Рис. 2

Заменим хаос равнодействующей R и моментом M (см. рис. 3):

122

Рис. 3

Распределив по осям, получим картину нагрузки сечения (см. рис. 4):

123

Рис. 4

Нагрузки и деформации, изучаемые в сопромате

Изучим несколько принятых терминов.

Напряжения

В теле приложенные силы распределяются по сечению. Нагружен каждый элементарный «кусочек». Разложим силы:

124

Элементарные усилия таковы:

125

  • σ – «сигма», нормальное напряжение. Перпендикулярно сечению. Характерно для сжатия / растяжения;

  • τ – «тау», касательное напряжение. Параллельно сечению. Появляется при кручении;

  • p – полное напряжение.

126

127

Просуммировав элементы, получим:

128

Здесь:

  • N – нормальная сила;

  • A – площадь сечения.

В принятой в России системе СИ сила измеряется в ньютонах (Н). Напряжения – в паскалях (Па). Длины в метрах (м).

Деформации

Различают деформацию упругую (с индексом «e») и пластическую (с индексом «p»). Первая исчезает по снятии растягивающей / сжимающей силы, вторая – нет. 

Полная деформация будет равна:

129

130

Деформация относительная обозначается «ε» и рассчитывается так:

131

Под «сдвигом» понимается смещение параллельных слоев. Рассмотрим рисунок:

132

Здесь γ – относительный сдвиг.

133

Виды нагрузки

Перечислены основные.

  1. Растяжение и сжатие – нагрузка нормальной силой (по оси стержня).

  2. Кручение – действует момент. Обычно рассчитываются передающие усилия валы.

  3. Изгиб – воздействие направлено на искривление.

Основные формулы

Базовый принцип сопромата единственный. В упомянутой задаче о пружине применим закон Гука:

134

E – модуль упругости (Юнга). Величина зависит от используемого материала. Для стали полагают равным 200 х 106 Па.

Сопротивление материала прямо пропорционально деформации:

135

136

Закон верен не всегда и не для всех материалов. Как уже упоминалось, принимается как одно из допущений.

Реальная диаграмма

Растяжение стержня из низкоуглеродистой стали выглядит следующим образом:

137

138

Принимаемые схемы:

139

График (б) относится к большей части конструкционных материалов: подкаленные стали, сплавы цветных металлов, пластики.

Расчеты обычно ведут по σт (а) и σ0.2 (б). С незначительными пластическими деформациями конструкции или без таковых.

Пример решения задачи

Какой груз допустимо подвесить на пруток из стали 45 Ø10 мм?

Решение.

σ0,2 для стали 45 равна 245 МПа (из ГОСТ).

Площадь сечения прутка:

140

Допустимая сила тяжести:

141

Для получения веса следует разделить на ускорение свободного падения g:

142

Ответ: необходимо подвесить груз массой 1950 кг.

Как найти опасное сечение

Наиболее простой способ – построение эпюры. На закрепленную балку действуют точечные и распределенные силы. Считаем на характерных участках, начиная с незакрепленного конца. 

Усилие положительно, если направлено на растяжение.

143

144

На схеме показано, что:

  • на участке (7 - 8) действует сжатие 30 кН;

  • на (2 - 3) – растяжение 20 кН.

 

Зачем и кому нужен сопромат

Даже не имеющий отношения к прочностным расчетам инженер-универсал должен иметь понятие о приблизительных (на 10-20%) значениях. Знать конструкционные материалы, представлять свойства. Чувствовать заранее слабые места агрегатов.

Совершенно необходим разработчикам различных конструкций, машиностроительных изделий. Будущим архитекторам в вузах преподается в виде предмета «Строительная механика».

Методика помогает на стадии проектирования обеспечивать необходимый запас прочности изделий. Стойкость к постоянным и динамичным нагрузкам. Это сберегает массу времени и затрат в дальнейших изготовлении, испытании и эксплуатации изделия. Обеспечивает надежность и долговечность.