"По прежнему" - как правильно пишется?
Если в предложении можно задать вопросы «Как?», «Каким образом?», то написание будет через дефис.

Примеры:
-
«Костя хотел все в жизни оставить по-прежнему»;
-
«Марина Ивановна по-прежнему работает в школе»;
-
«Вопрос по-прежнему оставался открытым»;
-
«Все осталось по-прежнему»;
-
«Предыдущее название улицы было по-прежнему на слуху у жителей города».
В данном случае можно задать вопрос «Как?». Значит в данном контексте употребляется наречие. В русском языке наречия не склоняются, не имеют рода и числа.
По морфологическому составу, если наречие начинается с приставки «по-» и заканчивается суффиксами «–ому» или «–ему», то после приставки однозначно ставится дефис.
Другие примеры такого написания: «по-старому», «по-новому», «по-моему». Эти наречия образованы от прилагательных и некоторых местоимений.
Обратите внимание! Синонимами данного наречия могут быть такие слова: «по-старому», «как и прежде», «все еще» и т. д.
Пунктуация
Теперь рассмотрим, обособляется ли это слово запятыми, и что способствует правильному написанию с точки зрения пунктуации. «По-прежнему» не является вводным словом, это просто часть речи в предложении, следовательно, запятыми не выделяется.

Наличие запятых возможно, только если присутствует авторская пунктуация, или присутствует зависимое слово, например:
«Она снова, по-прежнему холодно, смотрит в его глаза».
В составе простых предложений имеет место обособление, которое выделяется запятыми с обеих сторон:
«Он ее любил, по-прежнему безответно, и не мог ничего с этим поделать».
Двустороннее выделение запятыми употребляется также при наличии причастного или деепричастного оборота:
«Он ее любил, по-прежнему безответно, страдая каждый день».
Заключение
Русский язык имеет много нюансов, он сложен не только для изучения иностранцами. Иногда у носителей языка возникает множество вопросов о том, как пишется то или иное слово. Морфологический разбор, анализ контекста и знание базовых правил способствуют легкому определению правильности написания слов.
