Криволинейное движение - общая характеристика, формулы и примеры

Рассмотрим простейший случай равномерного перемещения. Можно представить ситуацию, что если руль автомобиля держать неподвижно, то он будет ехать по прямой или по окружности. В реальной ситуации при езде всё время приходится поворачивать руль автомобиля, то есть в каждый момент времени происходит перемещение по окружности. При этом с каждым поворотом колеса управления радиус окружности изменяется. В данный момент времени он всегда совпадает с траекторией движения и называется радиусом кривизны траектории.

На графике движения можно отметить несколько точек. В одной из них скорость будет равняться V1. Немного дальше пройденное расстояние изменится, но скорость останется той же. Поменяется и направление V2. Через определённое время скорость будет равняться V3. Это движение равномерное.

Относительно точки V1 можно построить касающуюся её окружность с центром r1. По аналогии движения за рулём, это то же самое, что в рассматриваемой точке зафиксировать поворот управления на постоянный угол. Для V2 центр радиуса находится в точке r2, а V3 в r3.

В любом из этих трёх случаев происходит движение по окружности. То есть криволинейное движение произвольной формы — это перемещение по окружности любого радиуса. Если же радиус изменяется, то в любой момент меняется и центростремительное ускорение. Но при этом направление всегда совпадает с радиусом. Самое большое ускорение будет в том месте, где радиус самый маленький, и наоборот. Таким образом можно утверждать, что всякий раз ускорение будет перпендикулярно скорости при равномерном движении.

Кроме центростремительного ускорения, важными характеристиками, описывающими движение, являются следующие величины:

• Период. Показывает, за сколько времени точка совершит один оборот: T = t /n. Где t — время, за которое происходит определённое число оборотов, равное n.
• Частота. Определяет, сколько оборотов совершенно за единицу времени: λ = n / t.
• Угловая скорость. Является отношением угла поворота радиуса ко времени, за который произошёл поворот: W = φ / Δt = 2 * p / T = V / r.

Это основные формулы для криволинейного движения, использующиеся при решении задач. Кроме того, в заданиях используется связь между линейной и угловой скоростями: v = w * r, а также формула полного ускорения: a = at + an.

Решение простых задач

Виды движения изучаются на уроках физики в седьмом классе средней школы. На них ученикам объясняют понятия поступательного и равномерного движения, даются необходимые уравнения. Решение задач на уроках необходимо для закрепления пройденного материала и реального понимания ситуаций, при которых используются знания о видах перемещения.

Вот некоторые типы заданий, часто встречающиеся в различных вариантах у учащихся при сдаче ими тестов или написании контрольных работ:

1. Линейная скорость точек рабочей поверхности наждачного круга диаметром 300 мм не должна превышать 35 метров в секунду. Допустима ли посадка круга на вал электродвигателя, совершающего обращение со скоростью 1400 оборотов в минуту? Согласно условию, необходимо найти, как связаны между собой V1 c Vmax. То есть линейную скорость и частоту вращения. Для расчёта необходимо использовать формулу связи скоростей: v = w * r. Так как поверхность абразива плоская, то радиус его будет равняться: r = d / 2. Подставив все исходные данные, можно записать: v = 2 * p * n / 2 = p * n * d = 3,14 * 1400 * 1/60с * 0,3 м = 22 м/с. Следовательно, из полученного значения можно сделать вывод, что посадка допустима.
2. Какова линейная скорость точек земной поверхности на широте 46,5⁰ при суточном вращении? Радиус Земли принять равным 6400 км. Другими словами, нужно выяснить линейную скорость. Широта рассчитывается вдоль меридиана и, по сути, это угол, измеряемый между двумя точками. Одна из них находится на экваторе, а другая — в указанном месте. Между радиусами, проведёнными из этих точек, угол составляет φ. Решить поставленную задачу можно, используя формулы: v = w * r и w = 2 * p / T. Следует учесть, что радиус, соответствующий 46,5^0, будет меньше радиуса Земли. Для того чтобы найти нужное значение, необходимо построить виртуальный треугольник и, используя тригонометрические формулы, записать, что cos φ = r / R. Учитывая, что направлена мгновенная скорость при криволинейном движении к центру, формула будет иметь вид: V = (2 * p / T) * R * cos φ = (6,28 * 6400 * 10³ * cos 46,5⁰) / 24 * 3,600 c = 465 * 0,69 м/с = 320 м/с.

Таким образом решать задачи на нахождение различных параметров при криволинейном движении без учёта его вызвавшей причины несложно. При этом следует правильно определить тип движения и знать основные формулы.

Пример сложного уровня

В большей мере такого уровня задачи являются поучительными, так как они используются для реальных случаев. Например, при расчётах работы различных технических установок. Вот одна из них.

Пусть движение от шкива один к шкиву четыре передаётся при помощи двух временных передач. Найти частоту вращения в оборотах в минуту и угловую скорость шкива четыре, если шкив один делает 1200 об/мин, а радиусы шкивов: R1 — 8 см, R2 — 32 см, R3 — 11 см, R4 — 55 см, при этом они жёстко укреплены на одном валу. Передающие ремни принять идеальными.

Для решения этой задачи нужно вначале определить направление вращения. Из условия задачи следует, что первый шкив будет вращаться в другую сторону по сравнению с остальными тремя. Для того чтобы найти угловую скорость последнего ролика, нужно будет последовательно определить параметры предшествующих ему шкивов.

Линейная скорость точек движения на ролике первого и второго шкива одинакова. Это следует из того, что ремни идеальные, не проскакивают и не растягиваются. Таким образом будет справедливо записать: V1 = V2. Так как w1 * r1 = w2 * r2, можно составить отношение: r1 / r2 = w1 / w2 или r1 / r2 = 2 * p * n2 / 2 * p * n1. То есть отношение примет вид: r1 / r2 = n2 / n1.

Так как третий шкив закреплён жёстко на валу со вторым, то образованную систему можно считать одним твёрдым телом. Применительно к нему можно говорить об общей угловой скорости или одинаковой частоте вращения. Получается, что n3 = n2. Тогда можно записать: n3 = n1 = r1 / r2.

На следующем шаге необходимо определить линейную скорость на четвёртом ролике. Из условия известно, что V3 = V4, так как их соединение идеальное. Это значит, что можно связать скорости третьего и четвёртого шкива с частотами: V4 = 2 *p * n4 * r4; V3 = 2 * p * n3. Из полученного равенства нужно выразить n4. Оно будет равняться: n4 = n3 * r3 / r4. В эту формулу необходимо подставить n3 и получить итоговую формулу: n4 = n1 * (r1 * r3) / (r2 * r4).

Теперь нужно подставить исходные данные и выполнить расчёт. При этом переходить в систему СИ нет необходимости: n1 = 1200 об/мин * (8 * 11) / (32 * 55) = 1200 * 1 / 20 об/мин = 60 об/мин. Для того чтобы найти угловую скорость, частоту необходимо умножить на 2p. При этом учесть, что угловая скорость измеряется в радианах в секунду. Поэтому w4 = 2 * p * n4 = 6, 28 * 1 = 6,28 рад/сек. Интересной особенностью является то, что частота вращения первого шкива в двадцать раз больше четвёртого. Задача решена.