Описание степенных функций: виды, свойства, графики

Что это такое? Основные понятия и определения

Азы алгебраического анализа математики станут пошагово яснее с помощью основных первичных понятий, определений, правил. Так на Рис.1 отображены термины и обозначения (понятийные ключи) направлений при переходе от «Начало» к исследованию функций для переменных в алгебре, к другим разделам царицы наук.

Рис.1

Обучение начинается от простых математических терминов – изначальных определений:

• Переменная – символ в математике, свободная величина (аргумент функции), может принимать любое из ряда значений фиксированной области (вес зависит от возраста теленка, x в алгебре);

• Функция – соответствие (зависимость) между «связанными» изменяемыми элементами; каждое значение зависимой функции определяется конкретной независимой величиной (переменной). Или же это формула, отображающая здравый смысл зависимости переменных (в математике обозначается y= f(x));

• Степень – для общего случая, какая-либо мера в сравнении, в алгебре – это выражение, служащее для упрощения многократного умножения основания x (числа, переменной, функции ) на самое себя (пример обозначения: x^2). Количество одинаковых множителей называется показателем степени. В алгебре показатели степени могут быть целыми (четными и нечетными), дробными и иррациональными;

• Иррациональное число представляют как непериодическую бесконечную десятичную дробь (число = 3,1415926535…);

• Производная – тоже функция (вторичная), образованная от первичной, обозначается Y= f’(x) (как скоростная характеристика движения, как угол наклона касательной к линии);

• Степенная функция – это функциональная зависимость вида f(x)=. Например, кубическая (объем) функционально зависит от длины ребра куба (x), его третьей степени (y=).

Виды, свойства и область определения

Разделяют зависимости (f(x)) на простые (элементарные) и сложные. Степенная функция относится к ряду элементарных.

Рис.2

По показателю степени (характеристике числа) определяются присущие свойства степенной функции. На Рис.2 приведена классификация множества вещественных чисел. Собственно вид построения функционального степенного графика с целым натуральным или отрицательным показателем зависит как от знака, так и от четности числа показателя. Частных случаев действительных чисел (типовых) в показателе степени насчитывается более десятка.

Для сложных соответствий присуще применение к переменной нескольких функциональных «воздействий», при этом получается, как будто новая функция берется от другой «функции-аргумента». При фиксировании функциональных зависимостей используются следующие способы:

• Табличный (значения «икса» в соответствии с «игреком» для заданной f (x));

• Алгебраический («формулы»);

• Графический;

• Словесный.

Функция с целым плюсовым показателем степени при четном n будет четной, а при нечетном n – нечетной. Множество величин переменных относится в свойствах зависимостей к области определения (как определяется совокупность аргументов x). Величины допустимых итогов функции (y) на определенных участках фиксируются как диапазон значений.

Линейную зависимость общего вида y = kx + b можно считать степенной с показателем степени n=1. Если n=0, x≠0 (т.к. ноль в нулевой степени не определено), то функция становится константой-единицей. Особенность функций с 2k целым минусовым показателем – симметричность около оси ординат, четность. Для функций с целым 2k-1 показателем < 0 – симметричность относительно координатной точки 0, нечетность.

При исследовании и характеристике простых степенных функций придерживаются следующих описаний свойств, приведенных на Рис.3.

Рис.3

Правила при работе со степенями чисел с вещественными числами-показателями «наследуются» также для вычислений функциональных зависимостей:

Степенная функция с рациональным и иррациональным показателем

Вещественные числа включают всевозможные действительные дроби. Рациональные числа – конечные или без конца с периодом дробные числа, в знаменателе целая степень 10 (5/7=0,714285…).

Иррациональные числа – это оставшиеся за вычетом рациональных вещественные числа (бесконечные дроби, без периода).

На графиках степенных функций с рассматриваемыми характеристиками для частных случаев диапазонов степеней отслеживаются их схожие вид и свойства. Вычисления при степени-дроби выполняют последовательно в два шага: возводят в целую степень (число из числителя), извлекают из полученного корень (число знаменателя). Это трудоемкая работа: при больших числах дробных показателей требуются специальные таблицы (самая простая – таблица Брадиса), или же для подсчетов сценарий пишет программист, а исполняет вычислительная техника.

Анализируются свойства таких функций вместе с графиками при следующих условиях для показателей степени (а=n):

0 < а < 1 (Рис.10 ), а > 1 (Рис.6,9), − 1 < а < 0 (Рис.11 ), а <-1 (Рис.7,8 ).

С иррациональным показателем степени при вычислениях сталкиваются редко, ограничиваются определенным числом десятичных цифр (условленной погрешностью), приблизительным итогом. Сложные подсчеты выполняют на компьютере. Ответ окажется реалистичнее при большем десятичном приближении. Для решения иррациональных уравнений, нахождения значения корней, иногда делают переход к рациональным с помощью возведения в степень n левой и правой частей равенства.

Разложение зависимостей на последовательные слагаемые можно рассматривать как обобщение исследования числовых рядов, частичных сумм, предела суммы ряда и его сходимости уже с XVII века. Бесконечная сумма степенных функций приводит к упрощению исследований с элементарными функциями и облегчению численных расчетов. Для приблизительных вычислений с определенной погрешностью применяется разложение в степенной cходящийся ряд функции. Вычисляют также lim некоторых функций, «неберущиеся» сложные для нахождения интегралы, решения интегрируемых дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов Тейлора. Перед разложением функции в ряд её необходимо предварительно преобразовывать.

Для значения Y функции, дифференцируемой в фиксированной точке х, из области сходимости ряда, в ее разложении берут в качестве основных n первых слагаемых ряда, а члены остальные в ряду, не рассчитывая, отбрасывают.

Для всякого вида показателей степени Ньютон открыл биноминальное разложение на отдельные слагаемые, такой ряд сходится, множество сходимости степенного ряда – внутренность интервала

|x| <r.

Используются для решений табличные формы разложений в степенные ряды, доказанные и построенные через производные зависимости степенных функций.

 для всех |x|<1.

Рис.4

Подробно рассматриваются отдельные случаи схематичного построения графиков далее. Дробные или иррациональные показатели степени могут быть приблизительно рядом на числовой оси, что влияет на похожесть при вычерчивании графиков степенных функций.

Рис.5

Построение графиков

Характеристики чертежей функций определяются числами степенных показателей (как на объединенном для х>0 рисунке: положительные, отрицательные, целые, четные, нечетные, дробные).

Рис.6 y=х^п, п-четное, вид параболы.

Рис.7 y=x^n. n-нечетное, вид кубической параболы.

Рис.8 y=х^(-n), когда — чётное число

Рис.9 y =х^(-n), когда — нечётное число

Рис.10 y=х^(m\п)m\п—неправильная дробь

Рис.11 y=х^(m\n), где0<m\n<1

Рис.12 Отрицательный дробный показатель степени y=x^(−m\n).

Горизонтальная асимптота — у=0, вертикальная асимптота — х=0.

Задачи со степенной функцией

Задача 1. Вычислить: 

Задача 2. Найти неизвестное: х^(4\3)=24-х.

Y=24-x - прямая линия, убывающая.

Y=(x^(1\3))^4 - Корень кубический из х, возводится в 4 степень, степенная возрастающая функция.

Будет только одно решение х<24. Х=8, 2^4=16, 24-8=16, 16=16.

Задача 3. Вычислить: 12^5\3^5 - 4^2.

12^5\3^5 - 4^2=4^5 - 4^2=4^2(64-1)=16*63=1008.

Задача 4. Найти значение: ((2^2)^(3^(1\2)) + 2^(3^(1\2)+1) +1 )^(1\2) – 2^(3^(1\2)).
Обозначим 2^(3^(1\2))=t, тогда выражение примет вид: (t^2+2t +1)^(1\2)-t=(t+1)-t=1.

Выражение имеет значение единица.

 Задача 5. Вычислите: 3^8*8^(11)*12^2\{27^3*16^8}.

3^8*8^(11)*12^2\{27^3*16^8}= 3^8*(2^3)^11*3^2*4^2*27^(−3)*16^(−8)=

3^8*2^33*3^2*2^4*3^(−9)*2^(−32)=3^1*2^5=3*32=96.

Производные и дифференцирование (функции), также как обратное преобразование – интегрирование решают важные аналитические и оптимизационные задачи в различных сферах. Эти взаимно обратные процессы – основа математического анализа, применяются особенно результативно для прикладных научных, технических дисциплин, экономики, где существуют неравномерно протекающие, изменяющиеся процессы.

Описание и решение неравенств с двумя переменными

Для формулирования и разрешения многих проблем, при моделировании процессов, выборе приемлемых результатов в окружающей действительности, в науке целесообразно использовать неравенства. Действия над уравнениями, где со знаком равенства определяются функциональные зависимости (y от x), позволяют решать неравенства с двумя переменными, но с несколькими присущими особенностями.

Рис. 1

Определение и примеры неравенств с двумя переменными

Соотношение между алгебраическими выражениями (функциями с переменными x, y), которое указывает, что одно больше или меньше другого, называют неравенством.

Неравные соотношения различают строгие (>, <) и нестрогие (≥, ≤), простейшие (х≥0, y≤0), линейные (прямые) и нелинейные (например, со степенями). Решение с одним переменным отмечают на числовой оси. По аналогии можно решать неравенства с двумя переменными, но использовать две оси (x, y) на координатной плоскости; поскольку решения (пары действительных чисел) определяют область (множество) точек на этой плоскости.

Пример двух линейных нестрогих и одного строгого отношения:

. X-3y≥-12, 4x+3y≤27, 2x+2y>0.

Квадратичные неравенства с 2 переменными:

y-x^2≥0, х^2 – 8х + 12< y.

Искать ответ можно несколькими способами; прежде всего, решить уравнение, определенное неравенством, используя методы преобразования (Рис.1), разбить оси по данным решения на предполагаемые участки, определить верные интервалы, пользуясь методом «подопытной» точки.

Рис.2

Сколько и какие могут быть решения?

Если по условию несколько неравенств объединены в систему, то для выводов решается каждое отдельно. По результатам находится область их пересечения (множество решений может быть открытым бесконечным, либо ограниченным), или же «перекрытие» решений отсутствует. При упрощении выражений используются способы преобразований уравнений. Идеи преобразований неравенств в системе надо суметь догадаться «увидеть».

Система неравенств не имеет решений, в случае отсутствия таковых у одного из неравенств. Если у неравенства выполняется условие для любого значения аргумента, тогда решением системы является решение в других соседних неравенствах.

Существует несколько методов решения:

• Геометрически, с построением точек в четырех квадрантах плоскости координат по их ординатам и абсциссам.

• Для квадратного неравенства используют разложение на множители с найденными корнями и определяют необходимые участки методом интервалов.

• Иногда решают способом через оценку получившегося знака разности. Для этого выполняют вычитание частей неравенства и приводят доказательства требуемого знака (>, <, ≥, ≤).

• Применяют общеизвестное доказательство методом «от противного» (истина, ложь). Предполагают противоположное требуемому изначально доказательству (хотя бы одни переменные делают его истинным). Если преобразования приведут к ложному неравенству, то сделанное предположение неверное, но верно изначальное.

• Доказывают неравенства «синтетическим» методом, преобразуя известные неравенства (опорные) до требуемого.

Примеры решения неравенства с двумя переменными

Задача 1.

Найти решение системы неравенств с двумя переменными:

Решается система графическим способом, вначале преобразуются уравнения, определяются места пересечения осей координат.

2y=-x+2; х=-2; у=0; х=0; у=1;

y=x+1; x=0; y=1; x=-1; y=0;

y=-2

По двум точкам каждой линии строятся две прямые. Неравенства нестрогие. Устанавливая при каждой прямой линии направление области определения (1/2 плоскости), находится общая для них область:

внутри треугольника, включительно с его границами все многие точки плоскости координат (Рис.3). Проверка заданных отношений в точке (0;0): (-2<0, -1<0, 2>0) .

Рис. 3

Решая попарно уравнения прямых (пересечение), находятся три вершины треугольника С, В, А.

Для С – у=-2; х=6. Для В – х=0;у=1. Для А – у=-2; х=-3.

Задача 2.

Найти подходящий к системе неравенств участок координатной плоскости.

Решаем уравнение для каждого отношения. Первое выражение - окружность с точкой центра в начале координат, единичным r. Строится линия x^2 + у^ 2 = 1, с пересечением осей (1; 0),(-1;0). Она делит плоскость на круг и вне круга; выбирается нужная область внутри круга (наносится штриховка).

Второе уравнение – прямая линия y=-2x. Строится по точкам (1;2), (-1;-2). Она разделяет плоскость пополам, выбирается область ниже прямой (заштриховывается). Пробное место с координатами -1, 1 удовлетворяет второму отношению (-1≤0).

Неравенства в системе верны в области точек нижнего полукруга и линии контура (Рис.4).

Проверим подстановкой (-0.2;-0.2) 0.08<1, -0.4-0.2=-0.6<0. Условия выполнены.

Рис.4

Задача 3.

Определить общий участок для трех отношений:

Преобразуются исходные неравенства в уравнения, раскрываются скобки, вводятся множители, приводятся подобные слагаемые:

27(x-2)>0,

(x-5)(x-50)≥0,

x>14.

Отмечаются на числовой оси промежутки по результатам трех отношений (Рис.5 ).

После объединения для всех неравенств подходит «луч» из точки ≥50.

Ответ: [50;+∞)

Рис.5

Для помощи при решении квадратичных неравенств, используя равнозначно соответствующее уравнение ax²+ bx + c = у, с дискриминантом D = b² − 4ac, предлагается табличный алгоритм нахождения участков переменных x в зависимости от знаков коэффициента a и D. Причем старший коэффициент а≠0. Необходимо находить корни при положительном D для разложения на множители, упрощения, использования метода интервалов.

Как записать общее решение?

Сообразно четкой математической формулировке, отображению решения используются дополнительные условные символы. При вычислении результатов объединенных неравенств ищется пересечение решений, когда их нет, то ответом является пустое множество x:

Если встречается «пустое» неравенство, то результат находится хотя бы из одного уравнения системы.

Итог будет:

Если отношение строгое, тогда отрезок решения считается открытым, со скобками ( ), без включения на отрезки пограничных точек. Если – нестрогое, то решение будет закрытым отрезком, включающим граничные точки.

Х>2\3,

Х≤0,6.

Результат:

Применение знака

Ответ:

Если из всего целого интервала исключают точку 5, то возможно оформление со знаком \:

.

Откроется еще много новых понятий, определений, знаковых обозначений благодаря осознанному изучению математических наук.

Приведены не все типы из многообразия неравенств, могут быть более сложные. Для их решения необходимо научиться разбираться в применяемых методах и способах специалистам, которые встречаются с необходимостью оптимизации процессов, допусками и ограничениями, учетом влияния нескольких параметров (математики, программисты, физики, экономисты).