Логарифмы - назначение и свойства, алгоритм решения задач с примерами
Логарифмы - понятие в математике, которое определяется числовой зависимостью. Само определение было дано Дж. Непером в начале XVII века, и впоследствии новое вычислительное средство широко использовалось математиками для упрощения их задач.
Содержание:
Обозначение и вычисление логарифмов
Значение записывается таким образом:
Важно! Число Эйлера - константа, равная приблизительно 2,71828.Часто для упрощения задач умножения, извлечения корней из чисел нужно сначала их прологарифмировать. Например, вместо того, чтобы умножать числа a и b с большим количеством разрядов, что может быть достаточно сложной операцией, вы можете:
- Вычислить log x a log x b по некоторому одинаковому основанию x.
- Затем сложить их и возвести это основание в степень с показателем, равным полученной сумме.
Важно! До изобретения вычислительной техники, которая позволяет автоматизировать операции с числами любой величины, подобные вычисления с логарифмированием пользовались большой популярностью. Особенно это касалось областей науки, где производились действия над большими числами - например, в астрономии.
Правила действий над логарифмами и их основные свойства
Логарифмы не перестали приносить пользу и в эпоху компьютеризации. Например, в информатике очень часто используется бинарный (двоичный) log2. По-прежнему для оптимизации сложных математических действий используется сложение, вычитание и сравнение логарифмов чисел. Во всех этих операциях используются правила и свойства, описанные ниже:- log a 1 = 0. Показателем степени, в которую нужно возвести любое число, чтобы получить 1, всегда является ноль.
- log a = 1. Это легко понять, поскольку результатом возведения любого числа в первую степень будет само это число.
- log a xy = log a x + log a y. Именно на это свойство опирается приведенный выше способ умножения чисел. Как вы помните из школьного курса алгебры, когда мы умножаем степени с одинаковыми основаниями, показатели складываются - это объясняет данное правило.
- log a x/y = log a x - log a y. Вы могли догадаться, что это свойство находит применения в вычислениях, связанных с делением больших чисел (при делении степеней с неким общим основанием a показатели вычитаются).
- log a xp = p * log a x. Данное свойство позволяет применять логарифмирование в операциях, связанных с возведением числа в степень p. Согласно алгебраическому правилу, при возведении степени в степени в степень показатели умножаются.
Важно! Мы можем даже не подозревать, какое большое значение это имело для математиков, живших до изобретения компьютера и калькулятора. Однако и теперь все описанное не потеряло своей актуальности. Вычислительные мощности компьютеров тоже имеют свои пределы, и при написании программ, занимающихся решением математических задач, тоже нужно использовать наиболее оптимальные алгоритмы.
ОДЗ логарифма и потенцирование
Следует учитывать, что область допустимых значений (ОДЗ) логарифма ограничивается некоторыми условиями. Если под знаком log не просто число, а какое-то выражение, и в качестве основания тоже некоторое выражение, что в общем виде может быть записано так:
Что такое потенцирование
Когда мы видим некую математическую зависимость между логарифмами от разных чисел или выражений, мы можем “убрать” знаки log и перенести эту зависимость непосредственно на данные числа или выражения. Проще говоря, вычислить значение выражения f(x) по loga f(x). Рассмотрим пример:

Важно! После нахождения корней уравнения, полученного путем потенцирования логарифма, необходимо свериться с ОДЗ и выяснить, входят в него корни или нет.Вышеизложенное накладывает определенные ограничения на использование логарифмов. Как видите, они не могут высчитываться от отрицательных чисел, и их основания должны быть положительными и отличными от нуля. При решении уравнений, таких как приведенное в примере выше, приходится проверять вхождение корней в ОДЗ, и это тоже приносит определенные неудобства, хотя они исчерпываются многочисленными преимуществами использования логарифмирования и потенцирования при решении уравнений.
Логарифмическая функция
Легко догадаться, что эта функция задается формулой:


Еще тесты
- Анатомия
- Английский язык
- Астрономия
- Биология
- Литература
- История
- Педсовет
- Естествознание
- Финансы и кредит
- Правоведение
- Товароведение
- Экономика
- Социология
- Маркетинг
- Обществознание
- Культурология
- Математика
- Философия
- Русский язык
- Психология
- Политология
- Делопроизводство
- Бухгалтерия
- ОБЖ
- Орфография
- География
- Биографии
- Физика
- Пунктуация
- Краткие содержания
- Химия
- Менеджмент
- Тест на тему Тест по теме Дыхательная система человека 7 вопросов
- Тест на тему Строение человека - анатомия внутренних органов 7 вопросов
- Тест на тему Гормоны - определение, виды, функции, роль в организме человека 5 вопросов
- Тест на тему Лейкоциты в крови - строение, где образуются и разрушаются, норма содержания 5 вопросов
- Тест на тему Одноклеточные организмы - строение , формы и признаки представителей 8 вопросов
- Тест на тему Бесполое размножение - виды, формы и биологическое значение процесса 9 вопросов
- Тест на тему Синтез АТФ - структура, функции и пути образования аденозинтрифосфорной кислоты 7 вопросов
- Тест на тему Биогеоценоз - определение, структура и свойства 5 вопросов
- Тест на тему Символизм в литературе - основные черты и представители направления 6 вопросов
- Тест на тему "У Лукоморья дуб зеленый" - анализ стихотворения Александра Сергеевича Пушкина 8 вопросов
- Тест на тему Родион Раскольников и Соня Мармеладова - история взаимоотношений в романе Ф. М. Достоевского "Преступление и наказание" 6 вопросов
- Тест на тему Семья Мелеховых в романе М. Шолохова "Тихий дон" 7 вопросов
- Тест на тему Отечественная война 1812 года - причины, основные сражения, итоги 7 вопросов
- Тест на тему Правление Ивана Грозного - внутренняя и внешняя политика 7 вопросов
- Тест на тему Образование СССР - причины, этапы становления, состав, итоги 6 вопросов
- Тест на тему Крещение руси князем Владимиром - причины, история, значение принятия христианства 6 вопросов
- Тест на тему Пищевая цепочка в природе - звенья, схемы и примеры цепей 5 вопросов
- Тест на тему Экологические факторы - классификация, примеры, общие закономерности воздействия 5 вопросов
- Тест на тему Биосфера - определение, состав, свойства, границы 5 вопросов
- Тест на тему Возникновение жизни на земле 6 вопросов
- Тест на тему Права и свободы человека и гражданина 5 вопросов
- Тест на тему Унитарное предприятие - виды, признаки, участники, особенности 7 вопросов
- Тест на тему Формы собственности - типы и виды и их характеристика 7 вопросов
- Тест на тему Предпринимательское право - понятие, принципы, предмет и объект, функции 5 вопросов
- Тест на тему Ликвидность предприятия - определение, виды, формула расчета 7 вопросов
- Тест на тему Процентная ставка - понятие, виды, методы расчета и начисления 5 вопросов
- Тест на тему Финансы - определние, сущность, основные функции, виды 7 вопросов
- Тест на тему Коммерческая деятельность - сущность и содержание 7 вопросов
- Тест на тему Статистическое наблюдение - виды, способы, последовательность этапов 6 вопросов
- Тест на тему Социальный контроль - понятие и функции, формы и методы, значение 5 вопросов
- Тест на тему Анкетирование - правила составления и виды вопросов, оформление результатов 5 вопросов
- Тест на тему Социальная группа — понятие, типы, критерии выделения 8 вопросов
- Тест на тему Деятельность человека - основные виды и характеристики 7 вопросов
- Тест на тему Воздушно-десантные войска (ВДВ) - история создания, подразделения, оснащение 7 вопросов
- Тест на тему Субъекты РФ - количество, виды, правовой статус 7 вопросов
- Тест на тему Социальные нормы - понятие, виды и характеристка, функции, примеры 6 вопросов
- Тест на тему Что такое угол 5 вопросов
- Тест на тему Деление в столбик — подробное описание алгоритма решения задач, примеры 10 вопросов
- Тест на тему Вычитание дробей - правила и примеры с решениями 5 вопросов
- Тест на тему Модуль числа - свойства, действия, как решать уравнения и неравенства с модулем 10 вопросов
- Тест на тему Ислам - история возникновения религии, основные положения 7 вопросов
- Тест на тему Мышление - определение, виды, функции, свойства 5 вопросов
- Тест на тему Что такое мораль, ее категории и функции 6 вопросов
- Тест на тему Буддизм - кратко о религии (история возникновения, основные положения, священные книги) 6 вопросов
- Тест на тему Безличные предложения в русском языке 8 вопросов
- Тест на тему Ударение в словах в русском языке - правила и проверка постановки 5 вопросов
- Тест на тему Морфемный разбор слова - правила выполнения с примерами 5 вопросов
- Тест на тему Сложноподчиненные предложения в русском языке 6 вопросов
- Тест на тему Мотивация - определение, виды и типы в психологии, менеджменте 5 вопросов
- Тест на тему Интеллект - понятие, признаки, как развивать, оценка 5 вопросов
- Тест на тему Социализация личности - понятие и сущность, агенты, примеры 5 вопросов
- Тест на тему Типы темперамента и их психологическая характеристика 5 вопросов
- Тест на тему Органы исполнительной власти РФ - понятие и правовой статус, структура и фунции 7 вопросов
- Тест на тему Европейский союз - история создания, цели, состав 5 вопросов
- Тест на тему Тоталитаризм - определение, характерные черты, плюсы и минусы идеологии 5 вопросов
- Тест на тему Политическая идеология - определение понятия, функции, классификация, особенности 5 вопросов
- Тест на тему Оборотные средства предприятия, их структура, учет и анализ 7 вопросов
- Тест на тему Бюджетная классификация - определение, структура 7 вопросов
- Тест на тему Калькуляция - основные понятия, примеры расчетов себестоимости 7 вопросов
- Тест на тему Бухгалтерский учет материально-производственных запасов на предприятии 8 вопросов
- Тест на тему Пистолет Макарова - шпаргалка по тактико-техническим характеристикам 9 вопросов
- Тест на тему Чрезвычайная ситуация - понятие, типы ЧС, причины возникновения, стадии развития 7 вопросов
- Тест на тему Вооруженные силы Российской Федерации — организационная структура и предназначение 7 вопросов
- Тест на тему ВМФ (Военно-Морской флот) России - структура, история, состав 7 вопросов
- Тест на тему Перу - географическое положение, климат и достопримечательности 9 вопросов
- Тест на тему Климатические пояса Земли - характеристика и особенности 8 вопросов
- Тест на тему Тайга - географическое положение, животный и растительный мир, особенности и характеристика природной зоны 7 вопросов
- Тест на тему Озеро - определение, классификация, признаки 6 вопросов
- Тест на тему Братья Гримм - биография, жизнь и творчество немецких писателей 10 вопросов
- Тест на тему Тамерлан (1336-1405) - биография, жизнь и завоевания великого полководца 10 вопросов
- Тест на тему Максим Горький (1868-1936) - биография, кратко самое важное, интересные факты из жизни писателя 9 вопросов
- Тест на тему Блок Александр Александрович (1880-1921) - биография, жизненный и творческий путь 11 вопросов
- Тест на тему "Ночь перед Рождеством" - краткое содержание повести Н. В. Гоголя 10 вопросов
- Тест на тему "Маленький Мук" - краткое содержание сказки Вильгельма Гауфа 10 вопросов
- Тест на тему "Дворянское гнездо" - краткое содержание романа И.С. Тургенева 8 вопросов
- Тест на тему "Бирюк" - краткое содержание рассказа И.С. Тургенева 10 вопросов
- Тест на тему Серная кислота - химические и физические свойства и реакции 8 вопросов
- Тест на тему Муравьиная кислота - формула, свойства, получение и применение 7 вопросов
- Тест на тему Сложные эфиры - характеристика, классификация и примеры соединений 8 вопросов
- Тест на тему Толуол - формула, свойства и применение химического вещества 8 вопросов
- Тест на тему Оценка персонала - виды, критерии и методы 7 вопросов
- Тест на тему Управление персоналом - задачи, функции, современные подходы 5 вопросов
- Тест на тему Менеджмент предприятий — сущность, виды, задачи и цели 7 вопросов
- Тест на тему Организационная структура предприятия — типы и предназначение 7 вопросов