Обозначение и вычисление логарифмов

Значение записывается таким образом: , где выражение log b и называют логарифмом от b по основанию a. Это определение, как видно из формулы, подразумевает такое число, которое служит показателем для возведения в степень основания a, и в результате этого возведения получается b. Например, логарифмом по основанию 4 для 64 будет 3, так как 64 равно 3. Приведенная выше зависимость в математике называется основным логарифмическим тождеством. Вычисление логарифма числа по основанию называется логарифмированием. На практике оно чаще всего использует логарифмы основанию 2 и 10 (двоичные и десятичные), а также log e b (натуральный, обозначается ln), где e - число Эйлера.
Важно! Число Эйлера - константа, равная приблизительно 2,71828.
Часто для упрощения задач умножения, извлечения корней из чисел нужно сначала их прологарифмировать. Например, вместо того, чтобы умножать числа a и b с большим количеством разрядов, что может быть достаточно сложной операцией, вы можете:
  1. Вычислить log x a  log x b по некоторому одинаковому основанию x.
  2. Затем сложить их и возвести это основание в степень с показателем, равным полученной сумме.
Важно! До изобретения вычислительной техники, которая позволяет автоматизировать операции с числами любой величины, подобные вычисления с логарифмированием пользовались большой популярностью. Особенно это касалось областей науки, где производились действия над большими числами - например, в астрономии.

Правила действий над логарифмами и их основные свойства

Логарифмы не перестали приносить пользу и в эпоху компьютеризации. Например, в информатике очень часто используется бинарный (двоичный) log2. По-прежнему для оптимизации сложных математических действий используется сложение, вычитание и сравнение логарифмов чисел. Во всех этих операциях используются правила и свойства, описанные ниже:
  • log a 1 = 0. Показателем степени, в которую нужно возвести любое число, чтобы получить 1, всегда является ноль.
  • log a = 1. Это легко понять, поскольку результатом возведения любого числа в первую степень будет само это число.
  • log a xy = log a x + log a y. Именно на это свойство опирается приведенный выше способ умножения чисел. Как вы помните из школьного курса алгебры, когда мы умножаем степени с одинаковыми основаниями, показатели складываются - это объясняет данное правило.
  • log a x/y = log a x - log a y. Вы могли догадаться, что это свойство находит применения в вычислениях, связанных с делением больших чисел (при делении степеней с неким общим основанием a показатели вычитаются).
  • log a xp = p * log a x. Данное свойство позволяет применять логарифмирование в операциях, связанных с возведением числа в степень p. Согласно алгебраическому правилу, при возведении степени в степени в степень показатели умножаются.
Как видите, можно значительно упростить сложные задачи с помощью этих правил. Именно поэтому французский ученый XIX века Лаплас говорил, что изобретение логарифма облегчило труд астрономов (вынужденных выполнять трудоемкие математические действия над большими величинами). Чтобы решать такие задачи, связанные с умножением, делением, возведением в степень, стало достаточно лишь произвести сложение, вычитание и умножение логарифмов соответствующих чисел.
Важно! Мы можем даже не подозревать, какое большое значение это имело для математиков, живших до изобретения компьютера и калькулятора. Однако и теперь все описанное не потеряло своей актуальности. Вычислительные мощности компьютеров тоже имеют свои пределы, и при написании программ, занимающихся решением математических задач, тоже нужно использовать наиболее оптимальные алгоритмы.

ОДЗ логарифма и потенцирование

Следует учитывать, что область допустимых значений (ОДЗ) логарифма ограничивается некоторыми условиями. Если под знаком log не просто число, а какое-то выражение, и в качестве основания тоже некоторое выражение, что в общем виде может быть записано так: , то таких условий три: f(x) > 0; g(x)> 0; g(x)≠0. И для нахождения ОДЗ необходимо решить их как систему неравенств. ОДЗ находят при решении уравнений с использованием потенцирования, а также при анализе логарифмической функции.

Что такое потенцирование

Когда мы видим некую математическую зависимость между логарифмами от разных чисел или выражений, мы можем “убрать” знаки log и перенести эту зависимость непосредственно на данные числа или выражения. Проще говоря, вычислить значение выражения f(x) по loga f(x). Рассмотрим пример: ; здесь мы выполнили потенцирование, и теперь можем решать полученное уравнение.
Важно! После нахождения корней уравнения, полученного путем потенцирования логарифма, необходимо свериться с ОДЗ и выяснить, входят в него корни или нет.
Вышеизложенное накладывает определенные ограничения на использование логарифмов. Как видите, они не могут высчитываться от отрицательных чисел, и их основания должны быть положительными и отличными от нуля. При решении уравнений, таких как приведенное в примере выше, приходится проверять вхождение корней в ОДЗ, и это тоже приносит определенные неудобства, хотя они исчерпываются многочисленными преимуществами использования логарифмирования и потенцирования при решении уравнений.

Логарифмическая функция

Легко догадаться, что эта функция задается формулой: Из предыдущего раздела этой статьи вы уже знаете, что в область определения этой функции не входят отрицательные числа, а число a принято положительным и не равным нулю. В область значений входят все действительные числа. Зная хоть немного о возведении в степень, вы сможете понять следующее утверждение: логарифмическая функция убывает, если a принадлежит интервалу (0, 1) и возрастает, если оно принадлежит (1, +∞). Теперь вы можете приблизительно представить себе график описанной здесь функции. Он пересекает ось абсцисс в точке 1, так как log a 1 = 0  при любом положительном a (рис. 1). Рис. 1. График логарифмической функции при a > 1
Рис. 1. График логарифмической функции при a > 1
Опираясь на описанные свойства логарифмической функции y = log a x, нетрудно построить ее график если 0 < a < 1 (рис.2) Рис.2. График логарифмической функции при 0 < a < 1
Рис.2. График логарифмической функции при 0 < a < 1
Итак, мы рассмотрели тему, важную для многих разделов математики - алгебры, математического анализа, теории вероятностей. Во всех этих областях активно применяются логарифмы и их свойства. Для закрепления прочитанного рекомендуем просмотреть предложенное ниже видео и пройти небольшой тест. Для большего погружения в тему логарифмов, рекомендуем посмотреть видео: